Question

18．中国人口已经出现老龄化与少子化并存的结构特征，测算显示中国是世界上人口老龄化速度最快的国家之一，再不实施“放开二胎”新政策，整个社会将会出现一系列的问题，若某地区2015年人口总数为45万，实施“放开二胎”新政策后专家估计人口总数将发生如下变化：从2016年开始到2025年每年人口比上年增加0.5万人，从2026年开始到2035年每年人口为上一年的99%．
（1）求实施新政策后，从2016年开始到2035年，第n年的人口总数a_n的表达式；
（2）若新政策实施后的2016年到2035年人口平均值超过49万，则需调整政策，否则继续实施，问到2035年后是否需要调整政策？（说明：0.99¹⁰=（1-001）¹⁰≈0.9）．

Answer 1

分析 （1）根据从2016年开始到2025年每年人口比上年增加0.5万人，从2026年开始到2035年每年人口为上一年的99%，可得分段函数；
（2）从2016年到2035年共20年，由等差数列及等比数列的求和公式，可求S₂₀，从而可得新政策实施到2035年年人口均值，即可得出结论．

解答 解：（1）当n≤10时，数列{a_n}是首项为45.5，公差为0.5的等差数列，
∴a_n=45.5+0.5×（n-1）=45+0.5n              …（2分）
当n≥11时，数列{a_n}是以公比为0.99的等比数列，又a_n=50
∴a_n=50×0.99^n-10                                        …（4分）
因此，新政策实施后第n年的人口总数a_n（单位：万元）的表达式为
a_n=$\left\{\begin{array}{l}{45+0.5n，1≤n≤10}\\{50×0.9{9}^{n-10}，11≤n≤20}\end{array}\right.$     …（6分）
（2）设S_n为数列{a_n}的前n项和，则从2016年到2035年共20年，由等差数列及等比数列的求和公式得：
S₂₀=S₁₀+（a₁₁+a₁₂+1+a₂₀）=477.5+4950×（1-0.99¹⁰）≈972.5万…（10分）
（说明：0.99¹⁰=（1-0.01）¹⁰≈0.9）
∴新政策实施到2035年年人口均值为$\frac{{S}_{20}}{20}$≈48.62 万             …（12分）
由$\frac{{S}_{20}}{20}$＜49，故到2035年不需要调整政策．       …（12分）

点评 本题考查数列的应用，考查利用数列知识解决实际问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．