Question

13．等差数列{a_n}的公差为d，关于x的不等式a₁x²+（$\frac{d}{2}$-a₁）x+c≥0的解集为[$\frac{1}{3}$，$\frac{4}{5}$]，则使数列{a_n}的前n项和S_n最小的正整数n的值为（　　）

• A． 3
• B． 4
• C． 5
• D． 6

Answer 1

分析 根据已知中等差数列{a_n}的公差为d，关于x的不等式a₁x²+（$\frac{d}{2}$-a₁）x+c≥0的解集为[$\frac{1}{3}$，$\frac{4}{5}$]，我们根据不等式解析的形式及韦达定理，易判断出数列的首项为正，公差为负，及首项与公差之间的比例关系，进而判断出数列项的符号变化分界点，即可得到答案．

解答 解：∵关于x的不等式${a_1}{x^2}+（\frac{d}{2}-{a_1}）x+c≥0$的解集为$[\frac{1}{3}，\frac{4}{5}]$，
则$\frac{1}{3}$，$\frac{4}{5}$是一元二次方程${a}_{1}{x}^{2}+$（$\frac{d}{2}-{a}_{1}$）x+c=0的两个实数根，
∴$\frac{1}{3}$+$\frac{4}{5}$=$\frac{{a}_{1}-\frac{d}{2}}{{a}_{1}}$，∴a₁=-$\frac{15}{4}$d＜0，∴a₄=a₁+3d=-$\frac{15}{4}$d+3d=-$\frac{3}{4}$d＜0，
a₅=a₁+4d═-$\frac{15}{4}$d+4d=$\frac{d}{4}$＞0．
∴使数列{a_n}的前n项和S_n最小的正整数n的值为4．
故选：B．

点评 本题考查了数列的函数性质、一元二次方程的根与系数的关系、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．