Question

14．已知函数f（x）=$\sqrt{2}$（sin2ωxcos$\frac{π}{4}$+cos2ωx•sin$\frac{π}{4}$）（ω＞0），且f（x）的最小正周期为π．
（1）求函数f（x）的单调增区间；
（2）若f（$\frac{α}{2}$-$\frac{π}{8}$）=$\frac{\sqrt{2}}{3}$，f（$\frac{β}{2}$-$\frac{π}{8}$）=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，且α、β∈（-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$），求cos（α+β）的值．

Answer 1

分析 （1）由f（x）=$\sqrt{2}$sin（2ωx+$\frac{π}{4}$），ω＞0，f（x）的最小正周期为π，得到f（x）=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$），由此能示出函数f（x）的单调增区间；
（2）先求出sin$α=\frac{1}{3}$，sinβ=$\frac{2}{3}$，cos$α=\frac{2\sqrt{2}}{3}$，cosβ=$\frac{\sqrt{5}}{3}$，由此能求出cos（α+β）．

解答 解：（1）∵f（x）=$\sqrt{2}$（sin2ωxcos$\frac{π}{4}$+cos2ωx•sin$\frac{π}{4}$）
=$\sqrt{2}$sin（2ωx+$\frac{π}{4}$），
ω＞0，f（x）的最小正周期为π，
∴ω=1，∴f（x）=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$），
由-$\frac{π}{2}+2kπ≤2x+\frac{π}{4}≤\frac{π}{2}+2kπ$，k∈Z，
解得-$\frac{3}{8}π+kπ≤x≤\frac{π}{8}+kπ$，k∈Z，
∴函数f（x）的单调增区间是[-$\frac{3}{8}π+kπ$，$\frac{π}{8}+kπ$]，k∈Z．
（2）∵f（x）=$\sqrt{2}sin（2x+\frac{π}{4}）$，
且f（$\frac{α}{2}$-$\frac{π}{8}$）=$\frac{\sqrt{2}}{3}$，f（$\frac{β}{2}$-$\frac{π}{8}$）=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
∴sin$α=\frac{1}{3}$，sinβ=$\frac{2}{3}$，
∵α、β∈（-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$），
∴cos$α=\frac{2\sqrt{2}}{3}$，cosβ=$\frac{\sqrt{5}}{3}$，
∴cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ=$\frac{2\sqrt{2}}{3}×\frac{\sqrt{5}}{3}$-$\frac{1}{3}×\frac{2}{3}$=$\frac{2\sqrt{10}-2}{9}$．

点评 本题考查三角函数值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意三角函数性质的合理运用．