Question

5．已知f（x）是定义在（-∞，1）∪（1，+∞）上的可导函数，且f（x）=f′（2）x²+xf（x）+x，则f（x）的解析式为f（x）=$\frac{{x}^{2}+x}{1-x}$，（x≠1）．

Answer 1

分析 由f（x）=f′（2）x²+xf（x）+x，令x=2，可得：4f′（2）+f（2）+2=0．对f（x）=f′（2）x²+xf（x）+x，两边求导可得：f′（x）=2xf′（2）+f（x）+xf′（x）+1，令x=2，可得5f′（2）+f（2）+1=0，联立解得f′（2）．代入即可得出．

解答 解：∵f（x）=f′（2）x²+xf（x）+x，
令x=2，则f（2）=4f′（2）+2f（2）+2，化为：4f′（2）+f（2）+2=0．
对f（x）=f′（2）x²+xf（x）+x，两边求导可得：f′（x）=2xf′（2）+f（x）+xf′（x）+1，
令x=2，则f′（2）=4f′（2）+f（2）+2f′（2）+1，即5f′（2）+f（2）+1=0，
联立解得f′（2）=1．
∴f（x）=x²+xf（x）+x，
∵x≠1，解得f（x）=$\frac{{x}^{2}+x}{1-x}$．
故答案为：f（x）=$\frac{{x}^{2}+x}{1-x}$，（x≠1）．

点评 本题考查了导数的运算法则、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．