Question

15．函数f（x）=ax³-2ax²+（a+1）x-log₂（a²-1）不存在极值点，则实数a的取值范围是（　　）

• A． （-∞，-1）
• B． （1，+∞）
• C． （1，4]
• D． （1，3]

Answer 1

分析 由已知函数解析式可得导函数解析式，根据导函数不变号，函数不存在极值点，分别讨论a=0和a≠0时，a的取值，综合讨论结果可得答案．

解答 解：∵f（x）=ax³-2ax²+（a+1）x-log₂（a²-1），可得a²-1＞0，解得a＜-1或a＞1，
∴f′（x）=3ax²-4ax+（a+1），
△=16a²-12a（a+1）≤0时，
即1＜a≤3时，f′（x）≥0恒成立，f（x）在R上为增函数，满足条件
综上，函数f（x）=ax³-2ax²+（a+1）x不存在极值点的充要条件是1＜a≤3．
故选：D．

点评 本题考查的知识点是函数在某点取得极值的条件，其中a²-1＞0这种情况易被忽略．