Question

10．长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=1，BC=2，AA₁=3，点M是BC中点，点P∈AC₁，Q∈MD，则|PQ|长度最小值为$\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$．

Answer 1

分析 以A为坐标原点，AB，AD，AA₁分别为x，y，z轴正方向建立空间直角坐标系，求出P，Q两点的坐标，利用向量法，求出当PQ为AC₁和MD的公垂线时PQ的坐标，代入两点之间距离公式，可得答案．

解答 解：以A为坐标原点，AB，AD，AA₁分别为x，y，z轴正方向建立空间直角坐标系，
∵AB=1，BC=2，AA₁=3，
∴A（0，0，0），B（1，0，0），C（1，2，0），C₁（1，2，3），M（1，1，0），D（0，2，0）
则$\overrightarrow{{AC}_{1}}$=（1，2，3），$\overrightarrow{DM}$=（1，-1，0）
设$\overrightarrow{AP}$=λ$\overrightarrow{{AC}_{1}}$=（λ，2λ，3λ），则点P的坐标为（λ，2λ，3λ），λ∈[0，1]，
设$\overrightarrow{DQ}$=μ$\overrightarrow{DM}$=（μ，-μ，0），点Q的坐标为（μ，2-μ，0），μ∈[0，1]，
则$\overrightarrow{PQ}$=（u-λ，2-μ-2λ，-3λ），
由$\overrightarrow{PQ}$⊥$\overrightarrow{{AC}_{1}}$且$\overrightarrow{PQ}$⊥$\overrightarrow{DM}$得：$\left\{\begin{array}{l}u-λ+2（2-μ-2λ）+3（-3λ）=0\\ u-λ-（2-μ-2λ）=0\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}λ=\frac{2}{9}\\ μ=\frac{8}{9}\end{array}\right.$，
此时PQ_min=$\sqrt{{（λ-μ）}^{2}+{（2λ-2+μ）}^{2}+9{λ}^{2}}$=$\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$．
故答案为：$\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$．

点评 本题考查求线段PQ长度的最小值，考查向量法的运用，考查学生分析解决问题的能力，难度较大．