Question

2．已知函数f（x）=sin（2x+$\frac{π}{6}$）+sin（2x-$\frac{π}{6}$）+cos2x+a．（其中a∈R，a为常数）．
（1）求函数的最小正周期和函数的单调递增区间；
（2）若x∈[0，$\frac{π}{2}$]时，f（x）的最小值为-3，求a的值．

Answer 1

分析 （1）利用两角和差的三角共公式化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性和单调性得出结论．
（2）由条件利用正弦函数的定义域和值域，求得a的值．

解答 解：（1）函数f（x）=sin（2x+$\frac{π}{6}$）+sin（2x-$\frac{π}{6}$）+cos2x+a
=$\sqrt{3}$sin2x+cos2x+a=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+a，
故函数f（x）的最小正周期为$\frac{2π}{2}$=π．
令2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，求得kπ-$\frac{π}{3}$≤x≤kπ+$\frac{π}{6}$，可得函数的增区间为[kπ-$\frac{π}{3}$，kπ+$\frac{π}{6}$]，k∈Z．
（2）若x∈[0，$\frac{π}{2}$]时，2x+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{7π}{6}$]，
故当2x+$\frac{π}{6}$=$\frac{7π}{6}$时，f（x）取得最小值为2•（-$\frac{1}{2}$）+a=-3，
∴a=-2．

点评 本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的周期性、单调性、定义域和值域，属于中档题．