Question

9．设a为实数，函数f（x）=2x²+（x-a）|x-a|．
（Ⅰ）若$\frac{f（0）}{|a|}$≥1，求a的取值范围；
（Ⅱ）求f（x）的最小值；
（Ⅲ）设函数h（x）=f（x），x∈（a，+∞），请直接写出（不需给出演算步骤）不等式h（x）≥1的解集．

Answer 1

分析 （Ⅰ）若$\frac{f（0）}{|a|}$≥1，则$\frac{-a\left|a\right|}{|a|}$≥1，解得a的取值范围；
（Ⅱ）结合二次函数的图象和性质，分类讨论，可得f（x）的最小值；
（Ⅲ）设函数h（x）=f（x），x∈（a，+∞），即3x²-2ax+a²-1≥0，分类可得不同情况下不等式h（x）≥1的解集．

解答 解：（Ⅰ）∵$\frac{f（0）}{|a|}$≥1，
∴$\frac{-a\left|a\right|}{|a|}$≥1，
即-a≥1，
∴a≤-1；…3分
（Ⅱ）（1）当x≥a时，f（x）=3x²-2ax+a²，函数的图象是开口朝上，且以直线x=$\frac{a}{3}$为对称轴，
此时，f（x）_min=$\left\{\begin{array}{l}f（a），a≥0\\ f（\frac{a}{3}），a＜0\end{array}\right.$=$\left\{\begin{array}{l}2{a}^{2}，a≥0\\ \frac{2{a}^{2}}{3}，a＜0\end{array}\right.$，…5分
（2）当x＜a时，f（x）=x²+2ax-a²，函数的图象是开口朝上，且以直线x=-a为对称轴，
此时，f（x）_min=$\left\{\begin{array}{l}f（-a），a≥0\\ f（a），a＜0\end{array}\right.$=$\left\{\begin{array}{l}-2{a}^{2}，a≥0\\ 2{a}^{2}，a＜0\end{array}\right.$，…6分
综上，f（x）_min=$\left\{\begin{array}{l}-2{a}^{2}，a≥0\\ \frac{2{a}^{2}}{3}，a＜0\end{array}\right.$；…7分
（Ⅲ）当x∈（a，+∞）时，
由h（x）≥1得：3x²-2ax+a²-1≥0，
∵△=4a²-12（a²-1）=12-8a²，
（1）当△≤0，即a≤-$\frac{\sqrt{6}}{2}$或a≥$\frac{\sqrt{6}}{2}$时，x∈（a，+∞）；
（2）当△＞0，即-$\frac{\sqrt{6}}{2}$＜a＜$\frac{\sqrt{6}}{2}$时，得$\left\{\begin{array}{l}（x-\frac{a-\sqrt{3-2{a}^{2}}}{3}）（x-\frac{a+\sqrt{3-2{a}^{2}}}{3}）≥0\\ x＞a\end{array}\right.$，
综上：当a∈（-$\frac{\sqrt{6}}{2}$，-$\frac{\sqrt{2}}{2}$）时，解集为：$（a，\frac{a-\sqrt{3-2{a}^{2}}}{3}]∪[\frac{a+\sqrt{3-2{a}^{2}}}{3}，+∞）$，
当a∈[-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$]时，解集为：$[\frac{a+\sqrt{3-2{a}^{2}}}{3}，+∞）$，
当a∈（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{\sqrt{6}}{2}$）时，解集为：（a，+∞）．…12分．

点评 本题考查的知识点是分段函数的应用，函数的最值及其几何意义，难度中档．