Question

4．如图所示，在△ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N，若$\overrightarrow{AB}$=m$\overrightarrow{AM}$，$\overrightarrow{AC}$=n$\overrightarrow{AN}$ （m，n＞0），则m²+n的范围为[$\frac{7}{4}$，4）．

Answer 1

分析 用$\overrightarrow{AM}，\overrightarrow{AN}$表示出$\overrightarrow{AO}$，根据M，O，N三点共线得出m，n的关系，从而得出m²+n关于m的二次函数，求出m的范围，利用二次函数的性质求出范围．

解答 解：∵O是BC的中点，∴$\overrightarrow{AO}$=$\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}$=$\frac{m}{2}\overrightarrow{AM}+\frac{n}{2}\overrightarrow{AN}$，
∵M，O，N三点共线，
∴$\frac{m}{2}+\frac{n}{2}=1$，即n=2-m．
∴m²+n=m²-m+2=（m-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{7}{4}$，
∵m＞0，n＞0，即$\left\{\begin{array}{l}{m＞0}\\{2-m＞0}\end{array}\right.$，
∴0＜m＜2．
令f（m）=（m-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{7}{4}$，
∴当m=$\frac{1}{2}$时，f（m）取得最小值$\frac{7}{4}$，
当m=2时，f（m）取得最大值4．
∴$\frac{7}{4}≤f（m）＜4$．
故答案为：$[{\frac{7}{4}，4}）$．

点评 本题考查了平面向量的基本定理，二次函数的性质，属于中档题．