Question

16．已知圆x²+y²=16的圆心为P，点Q（a，b）在圆P外，以PQ为直径作圆M与圆P相交于A，B两点．
（1）试确定直线QA，QB与圆P的位置关系，若QA=QB=3，写出点Q所在曲线的方程；
（2）若a=4，b=6，求直线AB的方程．

Answer 1

分析 （1）由已知可得∠PAQ=∠PBQ=90°，故直线QA，QB与圆P相切，QA=QB=3，则PQ=5，进而可得点Q所在曲线的方程；
（2）若a=4，b=6，圆M的方程为：（x-2）²+（y-3）²=13，与圆x²+y²=16相减可得公共弦AB所在的直线方程．

解答 解：（1）∵以PQ为直径作圆M与圆P相交于A，B两点．
∴∠PAQ=∠PBQ=90°，
故直线QA，QB与圆P相切，
若QA=QB=3，则PQ=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5，
故Q点在以P（0，0）为圆心，以5为半径的圆上，
即点Q所在曲线的方程为x²+y²=25（7分），
（2）若a=4，b=6，
则PM=$\sqrt{{4}^{2}+{6}^{2}}$=2$\sqrt{13}$，
故圆M的圆心为（2，3），半径为$\sqrt{13}$，
故圆M的方程为：（x-2）²+（y-3）²=13，
与圆x²+y²=16相减可得：4x+6y=16，
故直线AB的方程的方程为：2x+3y-8=0

点评 本题考查的知识点是直线与圆的位置关系，圆的标准方程，两圆相交时的公共弦方程，难度中档．