Question

8．动点A（x，y）在圆x²+y²=1上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，6秒旋转一周．已知时间t=0时，点A的坐标是（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{1}{2}$），则当0≤t≤6时，动点A的纵坐标y关于t（单位：秒）的函数的单调递增区间是（　　）

• A． [0，1]
• B． [4，6]
• C． [1，3]
• D． [0，1]和[4，6]

Answer 1

分析 由已知求出动点A的纵坐标y关于t（单位：秒）的函数为：y=sin（$\frac{π}{3}$x+$\frac{π}{6}$），结合正弦函数的单调性，可得当0≤t≤6时，动点A的纵坐标y关于t（单位：秒）的函数的单调递增区间．

解答 解：∵动点A（x，y）在圆x²+y²=1上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，故A=1，
6秒旋转一周，故T=6，ω=$\frac{π}{3}$，
时间t=0时，点A的坐标是（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{1}{2}$），故φ=$\frac{π}{6}$，
故动点A的纵坐标y关于t（单位：秒）的函数为：y=sin（$\frac{π}{3}$x+$\frac{π}{6}$），
由$\frac{π}{3}$x+$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{π}{2}$+2kπ，$\frac{π}{2}$+2kπ]，k∈Z得：x∈[-2+6k，1+6k]，k∈Z，
即函数y=sin（$\frac{π}{3}$x+$\frac{π}{6}$）的单调增区间为[-2+6k，1+6k]，k∈Z，
又∵0≤t≤6，
∴单调增区间为[0，1]，[4，6]，
故选：D

点评 本题考查的知识点是正弦型函数的解析式，复合函数的单调性，难度中档．