Question

6．已知函数f（x）=x³+3x²-5（x∈R）的图象为曲线C．
（Ⅰ）当x∈[-2，1]时，求过曲线C上任意一点切线斜率的取值范围；
（Ⅱ）求垂直于直线l：$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{2}+\frac{3\sqrt{10}}{10}t}\\{y=\frac{1}{3}+\frac{\sqrt{10}}{10}t}\end{array}\right.$（t为参数）并且与曲线C相切的直线方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）当x∈[-2，1]时，求导数，求出最值，即可求过曲线C上任意一点切线斜率的取值范围；
（Ⅱ）求出切线斜率，切点坐标，即可得出结论．

解答 解：（Ⅰ）f'（x）=3x²+6x，对称轴x=-1…（2分）
x∈[-2，1]时，f′（x）_min=-3，f′（x）_max=9…（4分）
∴当x∈[-2，1]时，过曲线C上任意一点切线斜率的取值范围为[-3，9]…（6分）
（Ⅱ）直线l方程可化为：2x-6y+1=0，…（8分）
设切点P（a，b），y'=3x²+6x，切线斜率k=3a²+6a=-3…（10分）
∴a=-1，b=-3，即P（-1，-3），
∴所求切线方程为：3x+y+6=0…（12分）

点评 本题考查导数的几何意义，考查参数方程，考查学生的计算能力，属于中档题．