Question

15．如图，已知OPQ是半径为1，圆心角为$\frac{π}{3}$的扇形，C是扇形弧上的动点，四边形ABCD是扇形的内接矩形，记∠COP=α，矩形的面积为S；
（1）求出S与α的函数关系式，并指出α的取值范围；
（2）求S最大值．

Answer 1

分析 （1）先把矩形的各个边长用角α表示出来，进而表示出矩形的面积，即可得解；
（2）利用三角函数恒等变换的应用化简后，再利用角α的范围，结合正弦函数的性质可求矩形面积的最大值即可．

解答 （本小题满分12分）
解：（1）在直角△OBC中，BC=sinα，OB=cosα，…（1分）
在直角△OAD中，$\frac{DA}{OA}=tan\frac{π}{3}=\sqrt{3}$，…（2分）
所以$OA=\frac{{\sqrt{3}}}{3}DA=\frac{{\sqrt{3}}}{3}BC=\frac{{\sqrt{3}}}{3}sinα$，…（3分）
所以$AB=OB-OA=cosα-\frac{{\sqrt{3}}}{3}sinα$，…（4分）
所以矩形ABCD的面积$S=AB×BC=（cosα-\frac{{\sqrt{3}}}{3}sinα）•sinα$，$（0＜α＜\frac{π}{3}）$…（6分）
（2）由$S=AB×BC=（cosα-\frac{{\sqrt{3}}}{3}sinα）•sinα=sinαcosα-\frac{{\sqrt{3}}}{3}{sin^2}α$=$\frac{1}{2}sin2α-\frac{{\sqrt{3}}}{3}×\frac{1-cos2α}{2}=\frac{1}{2}sin2α+\frac{{\sqrt{3}}}{6}cos2α-\frac{{\sqrt{3}}}{6}$…（8分）
=$\frac{{\sqrt{3}}}{3}（\frac{{\sqrt{3}}}{2}sin2α+\frac{1}{2}cos2α）-\frac{{\sqrt{3}}}{6}=\frac{{\sqrt{3}}}{3}sin（2α+\frac{π}{6}）-\frac{{\sqrt{3}}}{6}$，…（10分）
∵$0＜α＜\frac{π}{3}$，
∴$当2α+\frac{π}{6}=\frac{π}{2}时$，即$α=\frac{π}{6}时$，矩形ABCD的面积S取得最大值为$\frac{{\sqrt{3}}}{3}-\frac{{\sqrt{3}}}{6}=\frac{{\sqrt{3}}}{6}$．…（12分）

点评 本题考查在实际问题中建立三角函数模型，求解问题的关键是根据图形建立起三角模型，将三角模型用所学的恒等式变换公式进行化简，考查了转化思想和数形结合思想，属于中档题．