Question

3．已知四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，∠ABC=90°，AD∥BC，SA=AB=BC=2，AD=1，SA⊥底面ABCD．
（1）求四棱锥S-ABCD的体积；
（2）求异面直线SC与AD所成角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）先求出S_梯形ABCD，由此能求出四棱锥S-ABCD的体积．
（2）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AS为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线SC与AD所成角的余弦值．

解答 解：（1）∵四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，
∠ABC=90°，AD∥BC，SA=AB=BC=2，AD=1，SA⊥底面ABCD，
∴S_梯形ABCD=$\frac{1}{2}$（1+2）×2=3，
∴四棱锥S-ABCD的体积V=$\frac{1}{3}×{S}_{梯形ABCD}×SA$=$\frac{1}{3}×3×2$=2．
（2）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AS为z轴，建立空间直角坐标系，
C（2，2，0），S（0，0，2），A（0，0，0），D（0，1，0），
$\overrightarrow{SC}$=（2，2，-2），$\overrightarrow{AD}$=（0，1，0），
设异面直线SC与AD所成角为θ，
则cosθ=$\frac{|\overrightarrow{SC}•\overrightarrow{AD}|}{|\overrightarrow{SC}|•|\overrightarrow{AD}|}$=$\frac{2}{\sqrt{12}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
∴异面直线SC与AD所成角的余弦值为$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查四棱锥的体积的求法，考查异面直线所成角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．