Question

13．在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且asinC=$\sqrt{3}$ccosA．
（1）求角A的大小；
（2）若a=$\sqrt{13}$，c=3，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）由正弦定理化简已知等式，结合sinC≠0，利用同角三角函数基本关系式可求tanA=$\sqrt{3}$，结合A的范围由特殊角的三角函数值即可得解A的值．
（2）由余弦定理可求b的值，进而利用三角形面积公式即可计算得解．

解答 （本题满分为12分）
解：（1）∵asinC=$\sqrt{3}$ccosA，
由正弦定理得sinAsinC=$\sqrt{3}$sinCcosA，…（2分）
∵sinC≠0
∴sinA=$\sqrt{3}$cosA，即tanA=$\sqrt{3}$，
∵A∈（0°，180°），
∴A=60°，…（6分）
（2）∵A=60°，a=$\sqrt{13}$，c=3，
∴由余弦定理a²=b²+c²-2bccosA，可得：13=b²+9-2×$b×3×\frac{1}{2}$，整理可得：b²-3b-4=0，
∴解得：b=4或-1（舍去），
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{1}{2}×4×3×\frac{\sqrt{3}}{2}$=3$\sqrt{3}$．…（12分）

点评 本题主要考查了正弦定理，同角三角函数基本关系式，特殊角的三角函数值，余弦定理，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．