Question

16．设数列{a_n}的前n项和为S_n，已知a₁=1，s₂=2，且a_n+2=3S_n-S_n+1+3（n∈N*）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若b_n=$\frac{lo{g}_{3}{a}_{2n+1}}{{a}_{2n}}$，求{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）令n=n-1再和条件式相减得出递推式，从而得出{a_n}的奇数项和偶数项均为等比数列进而求出通项公式；
（2）化简b_n，利用错位相减法求和．

解答 解：（1）∵a_n+2=3S_n-S_n+1+3，∴a_n+1=3S_n-1-S_n+3，
两式相减得：a_n+2-a_n+1=3a_n-a_n+1，即a_n+2=3a_n．
又a₁=1，s₂=2，∴a₁=a₂=1．
∴{a_n}的奇数项和偶数项均组成以1为首项，以3为公比的等比数列，
∴a_n=$\left\{\begin{array}{l}{{3}^{\frac{n-1}{2}，n为奇数}}\\{{3}^{\frac{n-2}{2}，n为偶数}}\end{array}\right.$．
（2）由（1）可知a_2n+1=3ⁿ，a_2n=3^n-1，
∴b_n=$\frac{lo{g}_{3}{a}_{2n+1}}{{a}_{2n}}$=$\frac{n}{{3}^{n-1}}$，
∴T_n=1+$\frac{2}{3}$+$\frac{3}{{3}^{2}}$+$\frac{4}{{3}^{3}}$+…+$\frac{n}{{3}^{n-1}}$，
∴$\frac{{T}_{n}}{3}$=$\frac{1}{3}$+$\frac{2}{{3}^{2}}$+$\frac{3}{{3}^{3}}$+$\frac{4}{{3}^{4}}$+…+$\frac{n}{{3}^{n}}$，
∴$\frac{2{T}_{n}}{3}$=1+$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{{3}^{2}}$+$\frac{1}{{3}^{3}}$+…+$\frac{1}{{3}^{n-1}}$-$\frac{n}{{3}^{n}}$=$\frac{1-（\frac{1}{3}）^{n}}{1-\frac{1}{3}}$-$\frac{n}{{3}^{n}}$=$\frac{3}{2}$（1-$\frac{1}{{3}^{n}}$）-$\frac{n}{{3}^{n}}$，
∴T_n=$\frac{9}{4}$（1-$\frac{1}{{3}^{n}}$）-$\frac{n}{2}$•$\frac{1}{{3}^{n-1}}$．

点评 本题考查了数列通项公式的求法，错位相减法求和，属于中档题．