Question

6．若实数x，y满足$\left\{\begin{array}{l}{x≥0}\\{y≥0}\\{4x+3y≤12}\end{array}\right.$，则z=$\frac{x+2y+3}{x+1}$的取值范围是（　　）

• A． [$\frac{2}{3}$，5]
• B． [$\frac{3}{2}$，11]
• C． [$\frac{1}{5}$，$\frac{2}{3}$]
• D． [$\frac{1}{5}$，$\frac{3}{2}$]

Answer 1

分析 画出约束条件的可行域，化简目标函数，利用目标函数的几何意义，求解z的斜率范围．

解答 解：不等式组$\left\{\begin{array}{l}{x≥0}\\{y≥0}\\{4x+3y≤12}\end{array}\right.$表示的区域如图，
则z=$\frac{x+2y+3}{x+1}$=1+2$\frac{y+1}{x+1}$的几何意义是可行域内的点与点（-1，-1）构成的直线的斜率的2倍加1的问题．
当取得点A（0，4）时，
则z=$\frac{x+2y+3}{x+1}$的值为11，
当取得点B（3，0）时，
则z=$\frac{x+2y+3}{x+1}$的取值为$\frac{3}{4}$，
所以答案为[$\frac{3}{4}$，11]，
故选：B．

点评 本题利用直线斜率的几何意义，求可行域中的点与原点的斜率．本题主要考查了用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属中档题．