Question

11．在数列{a_n}中，已知a₁=-1，且a_n+1=2a_n+3n-4（n∈N^*）．
（1）求证：数列{a_n+1-a_n+3}是等比数列；
 （2）求数列{a_n}的通项公式．

Answer 1

分析 （1）令b_n=a_n+1-a_n+3，可得b_n+1=a_n+2-a_n+1+3=2（a_n+1-a_n+3）=2b_n，利用等比数列的定义即可证明．
（2）由（1）利用等比数列的通项公式可得b_n，即可得出a_n．

解答 （1）证明：令b_n=a_n+1-a_n+3，
∴b_n+1=a_n+2-a_n+1+3
=2a_n+1+3（n+1）-4-2a_n-3n+4+3
=2（a_n+1-a_n+3）=2b_n，
∵b₁=1
∴$\frac{bn+1}{bn}$=2，
∴数列{b_n}是公比为2的等比数列．
（2）解：由已知a₂=2a₁-1=-3，
故b₁=a₂-a₁+3=1⇒b_n=a_n+1-a+3=2^n-1
⇒2a_n+3n-4-a_n+3=2^n-1
⇒a_n=2^n-1-3n+1（n∈N^*）．

点评 本题考查了等比数列的定义及其通项公式、数列递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．