Question

18．设函数f（x）=2ax²+（a+4）x+lnx．
（1）若f（x）在x=$\frac{1}{4}$处的切线与直线4x+y=0平行，求a的值；
（2）讨论函数f（x）的单调区间．

Answer 1

分析 （1）求出函数的定义域，函数的导数，利用斜率求出a，即可．
（2）化简函数的导数，通过①当a≥0时，②当a＜0时，分别求解函数的单调区间即可．

解答 解：（1）由题知f（x）的定义域为（0，+∞），且$f'（x）=\frac{{4a{x^2}+（a+4）x+1}}{x}$．
又∵f（x）的图象在$x=\frac{1}{4}$处的切线与直线4x+y=0平行，
∴$f'（\frac{1}{4}）=-4$，即$4[4a×\frac{1}{16}+（a+4）×\frac{1}{4}+1]=-4$．解得a=-6．…（6分）
（2）$f'（x）=\frac{{4a{x^2}+（a+4）x+1}}{x}=\frac{（4x+1）（ax+1）}{x}$，由x＞0，知$\frac{4x+1}{x}$＞0．
①当a≥0时，对任意x＞0，f'（x）＞0，f（x）在（0，+∞）上单调递增．
②当a＜0时，令f'（x）=0，解得$x=-\frac{1}{a}$，
当$0＜x＜-\frac{1}{a}$时，f'（x）＞0，当$x＞-\frac{1}{a}$时，f'（x）＜0，
此时，f（x）的单调递增区间为$（0，-\frac{1}{a}）$，递减区间为$（-\frac{1}{a}，+∞）$．…（12分）

点评 本题考查函数的导数的综合应用，函数的单调性与极值，切线方程的应用，考查转化思想以及计算能力．