Question

8．椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$的左、右焦点分别为F₁，F₂，离心率e=$\frac{1}{2}$，过F₂作x轴垂直的直线交椭圆C于A、B两点，△F₁AB的面积为3，抛物线E：y²=2px（p＞0）以椭圆C的右焦点F₂为焦点．
（Ⅰ）求抛物线E的方程；
（Ⅱ）如图，点$P（{-\frac{P}{2}，t}）（{t≠0}）$为抛物线E的准线上一点，过点P作y轴的垂线交抛物线于点M，连接PO并延长交抛物线于点N，求证：直线MN过定点．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设F₂（c，0），由椭圆离心率及隐含条件把椭圆方程用含有c的式子表示，求出A的纵坐标，代入三角形面积公式求得c，则抛物线方程可求；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得M坐标，写出直线PO的方程，与抛物线方程联立可得N的坐标，当t²≠4时，写出MN所在直线方程，化简后说明直线MN过定点（1，0），当t²=4时，直线MN的方称为：x=1，此时仍过点（1，0）．

解答 （Ⅰ）解：设F₂（c，0）（c＞0），由$e=\frac{1}{2}$，有$a=2c，b=\sqrt{3}c$，
∴椭圆C的方程为：$\frac{x^2}{{4{c^2}}}+\frac{y^2}{{3{c^2}}}=1$，
令x=c，代入C的方程有：$|{y_A}|=\frac{3c}{2}$，
∴${S_{△{F_1}AB}}=\frac{1}{2}×2c×2|{y_A}|=3{c^2}=3$，
∴c=1，故$\frac{p}{2}=c=1$，即p=2．
∴抛物线E的方称为：y²=4x；
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知：P（-1，t）（t≠0），则$M（{\frac{t^2}{4}，t}）$，
直线PO的方程为y=-tx，代入抛物线E的方程有：$N（{\frac{4}{t^2}，-\frac{4}{t}}）$，
当t²≠4时，${k_{MN}}=\frac{{t+\frac{4}{t}}}{{\frac{t^2}{4}-\frac{4}{t^2}}}=\frac{4t}{{{t^2}-4}}$，
∴直线MN的方程为：$y-t=\frac{4t}{{{t^2}-4}}（{x-\frac{t^2}{4}}）$，即$y=\frac{4t}{{{t^2}-4}}（{x-1}）$，
∴此时直线MN过定点（1，0），
当t²=4时，直线MN的方称为：x=1，此时仍过点（1，0）．
∴直线MN过定点（1，0）．

点评 本题考查椭圆与抛物线的简单性质，考查了椭圆与抛物线故选的应用，体现了分类讨论的数学思想方法，是中档题．