Question

19．如图，已知四棱锥S-ABCD中，SA⊥平面ABCD，∠ABC=∠BCD=90°，且SA=AB=BC=2CD，E是边SB的中点．
（1）求证：CE∥平面SAD；
（2）取BC中点M，求证平面SAC⊥平面SMD；
（3）求三棱锥S-ECD与四棱锥E-ABCD的体积比．

Answer 1

分析 （1）取SA中点F，连接EF，FD，可得EF∥AB，且$EF=\frac{1}{2}AB$，结合∠ABC=∠BCD=90°，得AB∥CD，进一步得到$CD=\frac{1}{2}AB$，从而可得四边形EFDC为平行四边形，得到FD∥EC，再由线面平行的判定可得CE∥面SAD；
（2）在Rt△MCD中，由MC=CD，得∠DMC=45°．在Rt△ABC中，由AB=AC，得∠BCA=45°，可得MD⊥AC，再由线面垂直的性质可得MD⊥SA，进一步由线面垂直的判定可得平面SAC⊥面SMD；
（3）连接AC，BD．由已知可得S_△ABC=2S_△BCD，得V_E-ABC=2V_E-BCD，利用等积法得V_E-ABCD=3V_S-ECD．可得三棱锥S-ECD与四棱锥E-ABCD的体积比为1：3．

解答 （1）证明：取SA中点F，连接EF，FD，
∵E是边SB的中点，∴EF∥AB，且$EF=\frac{1}{2}AB$，
又∵∠ABC=∠BCD=90°，∴AB∥CD，
又∵AB=2CD，即$CD=\frac{1}{2}AB$，
∴EF∥CD，且EF=CD，
∴四边形EFDC为平行四边形，
∴FD∥EC，
又FD?面SAD，CE?面SAD，
∴CE∥面SAD；
（2）证明：在Rt△MCD中，MC=CD，则∠DMC=45°．
在Rt△ABC中，AB=AC，则∠BCA=45°，
∴MD⊥AC，
又SA⊥平面ABCD，且MD?平面ABCD，
∴MD⊥SA，
∴MD⊥面SAC，
∴平面SAC⊥面SMD；
（3）解：连接AC，BD．
∵AB∥CD，且AB=2CD，
∴S_△ABC=2S_△BCD，
∴V_E-ABC=2V_E-BCD，
又由S_△ACD=S_△BCD，得V_E-ACD=V_E-BCD，
∴V_E-ABCD=V_E-ACD+V_E-ABC=V_E-BCD+V_E-ABC=3V_E-BCD，
∵E是边SB中点，∴S_△SCE=S_△BCE，
∴V_D-SCE=V_D-BCE，
又V_S-ECD=V_D-SCE，V_E-BCD=V_D-BCE，
∴V_E-ABCD=3V_S-ECD．
即三棱锥S-ECD与四棱锥E-ABCD的体积比为1：3．

点评 本题考查直线与平面平行、平面与平面垂直的判定，训练了利用等积法求多面体的体积，考查空间想象能力和思维能力，是中档题．