Question

18．已知数列{a_n}满足a₁=$\frac{1}{2}$，都有a_n+1=$\frac{1}{3}$a_n³+$\frac{2}{3}$a_n，n∈N^*
（1）求证：$\frac{1}{2}$•（$\frac{2}{3}$）^n-1≤a_n≤$\frac{1}{2}$•（$\frac{3}{4}$）^n-1，n∈N^*
（2）求证：当n∈N^*时，$\frac{1-{a}_{2}}{1-{a}_{1}}$+$\frac{1-{a}_{3}}{1-{a}_{2}}$+$\frac{1-{a}_{4}}{1-{a}_{3}}$+…+$\frac{1-{a}_{n+1}}{1-{a}_{n}}$≥$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$+$\frac{{a}_{3}}{{a}_{2}}$+$\frac{{a}_{4}}{{a}_{3}}$+…+$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$+6[1-（$\frac{11}{12}$）ⁿ]．

Answer 1

分析 （1）利用数学归纳法，可证得：$\frac{1}{2}$•（$\frac{2}{3}$）^n-1≤a_n≤$\frac{1}{2}$•（$\frac{3}{4}$）^n-1，n∈N^*
（2）由$\frac{1-{a}_{n+1}}{1-{a}_{n}}$-$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=$\frac{{a}_{n}-{a}_{n+1}}{{a}_{n}（1-{a}_{n}）}$=$\frac{{a}_{n}-\frac{1}{3}{a}_{n}^{3}-\frac{2}{3}{a}_{n}}{{a}_{n}（1-{a}_{n}）}$=$\frac{1+{a}_{n}}{3}$，$\frac{1}{2}$•（$\frac{2}{3}$）^n-1≤a_n，可得$\frac{1-{a}_{n+1}}{1-{a}_{n}}$-$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$≥$\frac{1+\frac{1}{2}•（\frac{2}{3}）^{n-1}}{3}$，利用“累加求和”可得：
$\frac{1-{a}_{2}}{1-{a}_{1}}$+$\frac{1-{a}_{3}}{1-{a}_{2}}$+$\frac{1-{a}_{4}}{1-{a}_{3}}$+…+$\frac{1-{a}_{n+1}}{1-{a}_{n}}$-（$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$+$\frac{{a}_{3}}{{a}_{2}}$+$\frac{{a}_{4}}{{a}_{3}}$+…+$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$）≥$\frac{n}{3}$+$\frac{1}{2}[1-（\frac{2}{3}）^{n}]$，1≤n≤18时，验证$\frac{n}{3}$+$\frac{1}{2}[1-（\frac{2}{3}）^{n}]$≥6[1-（$\frac{11}{12}$）ⁿ]成立．n≥19时，$\frac{n}{3}$+$\frac{1}{2}[1-（\frac{2}{3}）^{n}]$＞6＞6[1-（$\frac{11}{12}$）ⁿ]．即可证明．

解答 证明：（1）当n=1时，显然$\frac{1}{2}$•（$\frac{2}{3}$）^n-1≤a_n≤$\frac{1}{2}$•（$\frac{3}{4}$）^n-1成立，
假设n=k时，$\frac{1}{2}$•（$\frac{2}{3}$）^k-1≤a_k≤$\frac{1}{2}$•（$\frac{3}{4}$）^k-1，k∈N^*成立，
则n=k+1时，a_k+1=$\frac{1}{3}$a_k³+$\frac{2}{3}$a_k≥$\frac{2}{3}$a_k≥$\frac{1}{2}$•（$\frac{2}{3}$）^k，
∴a_k≤$\frac{1}{2}$，a_k²≤$\frac{1}{4}$，
即$\frac{1}{3}$a_k²≤$\frac{1}{12}$，
即$\frac{1}{3}$a_k³≤$\frac{1}{12}$a_k=$\frac{3}{4}$a_k-$\frac{2}{3}$a_k，
即$\frac{1}{3}$a_k³+$\frac{2}{3}$a_k≤$\frac{3}{4}$a_k
∴a_k+1=$\frac{1}{3}$a_k³+$\frac{2}{3}$a_k≤$\frac{3}{4}$a_k≤$\frac{1}{2}$•（$\frac{3}{4}$）^k，
即n=k+1时，$\frac{1}{2}$•（$\frac{2}{3}$）^k≤a_k+1≤$\frac{1}{2}$•（$\frac{3}{4}$）^k，k∈N^*成立，
综上可得：$\frac{1}{2}$•（$\frac{2}{3}$）^n-1≤a_n≤$\frac{1}{2}$•（$\frac{3}{4}$）^n-1，n∈N^*
（2）∵$\frac{1-{a}_{n+1}}{1-{a}_{n}}$-$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=$\frac{{a}_{n}-{a}_{n+1}}{{a}_{n}（1-{a}_{n}）}$=$\frac{{a}_{n}-\frac{1}{3}{a}_{n}^{3}-\frac{2}{3}{a}_{n}}{{a}_{n}（1-{a}_{n}）}$=$\frac{1+{a}_{n}}{3}$，$\frac{1}{2}$•（$\frac{2}{3}$）^n-1≤a_n，
∴$\frac{1-{a}_{n+1}}{1-{a}_{n}}$-$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$≥$\frac{1+\frac{1}{2}•（\frac{2}{3}）^{n-1}}{3}$，
∴$\frac{1-{a}_{2}}{1-{a}_{1}}$+$\frac{1-{a}_{3}}{1-{a}_{2}}$+$\frac{1-{a}_{4}}{1-{a}_{3}}$+…+$\frac{1-{a}_{n+1}}{1-{a}_{n}}$-（$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$+$\frac{{a}_{3}}{{a}_{2}}$+$\frac{{a}_{4}}{{a}_{3}}$+…+$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$）≥$\frac{n}{3}$+$\frac{1}{6}×\frac{1-（\frac{2}{3}）^{n}}{1-\frac{2}{3}}$=$\frac{n}{3}$+$\frac{1}{2}[1-（\frac{2}{3}）^{n}]$，
经过验证：1≤n≤18时，$\frac{n}{3}$+$\frac{1}{2}[1-（\frac{2}{3}）^{n}]$≥6[1-（$\frac{11}{12}$）ⁿ]．n≥19时，$\frac{n}{3}$+$\frac{1}{2}[1-（\frac{2}{3}）^{n}]$＞6＞6[1-（$\frac{11}{12}$）ⁿ]．
综上可得：当n∈N^*时，$\frac{1-{a}_{2}}{1-{a}_{1}}$+$\frac{1-{a}_{3}}{1-{a}_{2}}$+$\frac{1-{a}_{4}}{1-{a}_{3}}$+…+$\frac{1-{a}_{n+1}}{1-{a}_{n}}$≥$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$+$\frac{{a}_{3}}{{a}_{2}}$+$\frac{{a}_{4}}{{a}_{3}}$+…+$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$+6[1-（$\frac{11}{12}$）ⁿ]．

点评 本题考查了数列递推关系、数学归纳法、放缩法、作差法，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于难题．