Question

10．已知定义在R上的函数f（x）满足f（-x）=-f（x），f（x-3）=f（x），当x∈（0，$\frac{3}{2}$）时，f（x）=ln（x²-x+1），则函数f（x）在区间[0，6]上的零点个数是9．

Answer 1

分析 由f（x）=ln（x²-x+1）=0，先求出当x∈（0，$\frac{3}{2}$）时的零点个数，然后利用周期性和奇偶性判断f（x）在区间[0，6]上的零点个数即可．

解答 解：∵f（-x）=-f（x），
∴函数为奇函数，
∴在[0，6]上必有f（0）=0．
当x∈（0，$\frac{3}{2}$）时，由f（x）=ln（x²-x+1）=0得x²-x+1=1，
即x²-x=0．解得x=1．
∵f（x-3）=f（x），
∴函数是周期为3的奇函数，
∴f（0）=f（3）=f（6）=0，此时有3个零点0，3，6．
又f（1）=f（4）=f（-1）=f（2）=f（5）=0，此时有1，2，4，5四个零点．
当x=$\frac{3}{2}$时，f（$\frac{3}{2}$）=f（$\frac{3}{2}$-3）=f（-$\frac{3}{2}$）=-f（$\frac{3}{2}$），
∴f（$\frac{3}{2}$）=0，
即f（$\frac{3}{2}$）=f（$\frac{3}{2}$+3）=f（$\frac{9}{2}$）=0，
此时有两个零点$\frac{3}{2}$，$\frac{9}{2}$．
∴共有9个零点．分别为：0，3，6，1，2，4，5，$\frac{3}{2}$，$\frac{9}{2}$．
故答案为：9．

点评 本题主要考查函数零点的判断，利用函数的周期性和奇偶性，分别判断零点个数即可，综合性较强．