Question

20．椭圆$\frac{{x}^{2}}{25}$+$\frac{{y}^{2}}{9}$=1的焦点F₁，F₂，P为椭圆上的一点，已知PF₁⊥PF₂，则P到x轴的距离$\frac{9}{4}$．

Answer 1

分析 由题意方程求出椭圆的半焦距，设出P的坐标，结合PF₁⊥PF₂，可得${{x}_{0}}^{2}+{{y}_{0}}^{2}=16$，再由P在椭圆上可得$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{25}+\frac{{{y}_{0}}^{2}}{9}=1$，联立两方程组可得P的坐标，则答案可求．

解答 解：如图，
由椭圆$\frac{{x}^{2}}{25}$+$\frac{{y}^{2}}{9}$=1，得a²=25，b²=9，∴c²=a²-b²=16，
设P（x₀，y₀），由PF₁⊥PF₂，得${{x}_{0}}^{2}+{{y}_{0}}^{2}=16$，①
又$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{25}+\frac{{{y}_{0}}^{2}}{9}=1$，②
联立①②可得${{y}_{0}}^{2}=\frac{81}{16}$，∴|y₀|=$\frac{9}{4}$．
∴P到x轴的距离为$\frac{9}{4}$．
故答案为：$\frac{9}{4}$．

点评 本题考查椭圆的简单性质，考查了方程组的解法，是基础的计算题．