Question

11．已知函数f（x）=-$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$）+6sinxcosx-2cos²x+1．
（1）求f（-$\frac{π}{24}$）的值．
（2）若x∈（0，π）求函数单调递增区间．

Answer 1

分析 （1）将函数解析式进行化简，然后把x=-$\frac{π}{24}$代入求值．
（2）根据三角函数的单调性即可求f（x）的单调递增区间．

解答 解：f（x）=-$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$）+6sinxcosx-2cos²x+1=2（sin2x-cos2x）=2$\sqrt{2}$sin（2x-$\frac{π}{4}$）．
（1）f（-$\frac{π}{24}$）=2$\sqrt{2}$sin（-$\frac{π}{12}$-$\frac{π}{4}$）=-2$\sqrt{2}$sin$\frac{π}{3}$=-2$\sqrt{2}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=-$\sqrt{6}$．
（2）由2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{4}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，
解得kπ-$\frac{π}{8}$≤x≤kπ+$\frac{3π}{8}$，k∈Z，
故f（x）的单调递增区间[kπ-$\frac{π}{8}$，kπ+$\frac{3π}{8}$]．k∈Z．
所以当x∈（0，π）时，f（x）的单调增区间是（0，$\frac{3π}{8}$]，[$\frac{7π}{8}$，π）．

点评 本题主要考查三角函数的化简求值和单调区间的求解，利用三角函数的三角公式将函数化简是解决本题的关键．