Question

2．设S_n为等差数列{a_n}的前n项和，S₁₀=110，S₁₅=240．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）令b_n=$\frac{{{a_{n+1}}}}{a_n}$+$\frac{a_n}{{{a_{n+1}}}}$-2，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）由由等差数列的前n项和公式可知：$\left\{\begin{array}{l}{10{a}_{1}+\frac{10×9}{2}d=110}\\{15{a}_{1}+\frac{15×14}{2}d=240}\end{array}\right.$，即可求得a₁和d，即可求得数列{a_n}的通项公式；
（2）由（1）可知：b_n=$\frac{2n+2}{2n}$+$\frac{2n}{2n+2}$=$\frac{n+1}{n}$+$\frac{n}{n+1}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$+2，采用分组求和，“裂项法”，即可求得数列{b_n}的前n项和T_n．

解答 解：（1）设等差数列{a_n}公差为d，
由等差数列的前n项和公式可知：$\left\{\begin{array}{l}{10{a}_{1}+\frac{10×9}{2}d=110}\\{15{a}_{1}+\frac{15×14}{2}d=240}\end{array}\right.$，整理得：$\left\{\begin{array}{l}{2{a}_{1}+9d=22}\\{{a}_{1}+7d=16}\end{array}\right.$

解得，$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}=2}\\{d=2}\end{array}\right.$．
由等差数列的通项公式a_n=2（n-1）+2=2n，
数列{a_n}的通项公式a_n=2n；…（6分）
（2）由（1）可知：b_n=$\frac{2n+2}{2n}$+$\frac{2n}{2n+2}$=$\frac{n+1}{n}$+$\frac{n}{n+1}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$+2，
T_n=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$+2n，
=$\frac{n}{n+1}$+2n，
=$\frac{2{n}^{2}+3n}{n+1}$，
数列{b_n}的前n项和T_n=$\frac{2{n}^{2}+3n}{n+1}$．…（12分）

点评 本题考查等差数列前n项和，考查“裂项法”及分组求和，考查计算能力，属于中档题．