Question

17．已知数列{a_n}的首项a₁=4，前n项和为S_n，且S_n+1-3S_n-2n-4=0（n∈N^*）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设函数f（x）=a_nx+a_n-1x²+a_n-2x³+…+a₁xⁿ，f′（x）是函数f（x）的导函数，令b_n=f′（1），求数列{b_n}的通项公式．

Answer 1

分析 （1）由S_n+1-3S_n-2n-4=0（n∈N^*）．n≥2时可得：S_n-3S_n-1-2n+2=0，两式相减得：a_n+1+1=3（a_n+1），利用等比数列的通项公式即可得出．
（2）f′（x）=a_n+2a_n-1x+…+n${a}_{1}{x}^{n-1}$，可得f′（1）=a_n+2a_n-1+…+na₁=5×[3^n-1+2×3^n-2+…+（n-1）×3+n]-$\frac{n（n+1）}{2}$．令A_n=3^n-1+2×3^n-2+…+（n-1）×3+n，利用“错位相减法”与等比数列的求和公式即可得出．

解答 解：（1）由S_n+1-3S_n-2n-4=0（n∈N^*）．n≥2时可得：S_n-3S_n-1-2n+2=0，
两式相减得：a_n+1-3a_n-2=0，可得a_n+1+1=3（a_n+1），
又由已知a₂=14，∴a₂+1=3（a₁+1），
即数列{a_n+1}是一个首项为5，公比为3的等比数列，
∴a_n=5×3^n-1-1．
（2）∵f′（x）=a_n+2a_n-1x+…+n${a}_{1}{x}^{n-1}$，
∴f′（1）=a_n+2a_n-1+…+na₁=（5×3^n-1-1）+2（5×3^n-2-1）+…+n（5×3⁰-1）
=5×[3^n-1+2×3^n-2+…+（n-1）×3+n]-$\frac{n（n+1）}{2}$．
令A_n=3^n-1+2×3^n-2+…+（n-1）×3+n，
则3A_n=3ⁿ+2×3^n-1+…+（n-1）×3²+n×3，
∴作差得：2A_n=3ⁿ+3^n-1+…+3²+3-n=$\frac{3（{3}^{n}-1）}{3-1}$-n，
∴A_n=-$\frac{n}{2}$+$\frac{{3}^{n+1}-3}{4}$，
∴f′（1）=$\frac{5×{3}^{n+1}-15}{4}$-$\frac{n（n+6）}{2}$=b_n．

点评 本题考查了数列的递推关系、等差数列与等比数列的通项公式与求和公式、“错位相减法”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．