Question

12．已知函数f（x）=mlnx+（4-2m）x+$\frac{1}{x}$（m∈R）．
（1）当m＞2时，求函数f（x）的单调区间；
（2）设t，s∈[1，3]，不等式|f（t）-f（s）|＜（a+ln3）（2-m）-2ln3对任意的m∈（4，6）恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，通过讨论m的范围，求出函数的单调区间即可；
（2）问题等价于对任意的m∈（4，6），恒有（a+ln3）（2-m）-2ln3＞5-2m-mln3-$\frac{1}{3}$-12+6m成立，即（2-m）a＞$\frac{2}{3}$-4（2-m），根据m＞2，分离a，从而求出a的范围即可．

解答 解：（1）函数定义域为（0，+∞），
$f'（x）=\frac{m}{x}-\frac{1}{x^2}+4-2m=\frac{（2x-1）[（2-m）x+1]}{x^2}$．
令f′（x）=0，得x₁=$\frac{1}{2}$，${x_2}=-\frac{1}{2-m}$，
当m=4时，f'（x）≤0，函数f（x）的在定义域（0，+∞）单调递减； 
当2＜m＜4时，由f'（x）＞0，得$\frac{1}{2}＜x＜-\frac{1}{2-m}$；由f′（x）＜0，得$0＜x＜\frac{1}{2}$或$x＞-\frac{1}{2-m}$，
所以函数f（x）的单调递增区间为$（\frac{1}{2}，-\frac{1}{2-m}）$，递减区间为$（0，\frac{1}{2}）$，$（-\frac{1}{2-m}，+∞）$；
当m＞4时，由f'（x）＞0，得$-\frac{1}{2-m}＜x＜\frac{1}{2}$；由f′（x）＜0，得$0＜x＜-\frac{1}{2-m}$或$x＞\frac{1}{2}$，
所以函数f（x）的单调递增区间为$（-\frac{1}{2-m}，\frac{1}{2}）$，递减区间为$（0，-\frac{1}{2-m}）$，$（\frac{1}{2}，+∞）$．
综上所述，m=4时，f（x）的在定义域（0，+∞）单调递减；
当2＜m＜4时，函数f（x）的单调递增区间为$（\frac{1}{2}，-\frac{1}{2-m}）$，递减区间为$（0，\frac{1}{2}）$，$（-\frac{1}{2-m}，+∞）$；
当m＞4时，函数f（x）的单调递增区间为$（-\frac{1}{2-m}，\frac{1}{2}）$，递减区间为$（0，-\frac{1}{2-m}）$，$（\frac{1}{2}，+∞）$．
（2）由（1）得：m∈（4，6）时，函数f（x）在[1，3]递减，
∴x∈[1，3]时，f（x）_max=f（1）=5-2m，f（x）_min=f（3）=mln3+$\frac{1}{3}$+12-6m，
问题等价于：对任意的m∈（4，6），恒有（a+ln3）（2-m）-2ln3＞5-2m-mln3-$\frac{1}{3}$-12+6m成立，
即（2-m）a＞$\frac{2}{3}$-4（2-m），
∵m＞2，则a＜$\frac{2}{3（2-m）}$-4，
∴a＜${（\frac{2}{3（2-m）}-4）}_{min}$，
设m∈[4，6），则m=4时，$\frac{2}{3（2-m）}$-4取得最小值-$\frac{13}{3}$，
故a的范围是（-∞，-$\frac{13}{3}$]．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，考查分类讨论思想，是一道综合题．