Question

3．设函数f（x）=$\frac{b\sqrt{{a}^{2}-{x}^{2}}}{a}$（a＞b＞0）的图象是曲线C．
（1）在如图的坐标系中分别做出曲线C的示意图，并分别标出曲线C与x轴的左、右交点A₁，A₂．
（2）设P是曲线C上位于第一象限的任意一点，过A₂作A₂R⊥A₁P于R，设A₂R与曲线C交于Q，求直线PQ斜率的取值范围．

Answer 1

分析 （1）化简函数的解析式为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1，a＞b＞0，且y≥0，其图象表示焦点在x轴上椭圆的一部分，数形结合求得，A₁ 和A₂的坐标．
（2）先考察一般性，直线A₁P的方程是y=k（x+a），与椭圆方程联立，求得P，Q的坐标，可得直线PQ斜率，即可求出取值范围．

解答 解：（1）∵f（x）=$\frac{b\sqrt{{a}^{2}-{x}^{2}}}{a}$（a＞b＞0），
∴y=$\frac{b\sqrt{{a}^{2}-{x}^{2}}}{a}$，
∴a²y²=b²（a²-x²），∴b²x²+a²y²=b²a²，
∴$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1，a＞b＞0，且y≥0，
其图象表示焦点在x轴上椭圆的一部分，
如图所示，A₁ （-a，0）、A₂（a，0）．
（2）曲线C的方程是$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0，y≥0），
设 直线A₁P的斜率是k，
因为P是曲线C上位于第一象限内的任意一点，所以k∈（0，$\frac{b}{a}$）．
设P，Q的坐标分别是（x₁，y₁），（x₂，y₂），则直线A₁P的方程是y=k（x+a），
由$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1}\\{y=k（x+a）}\end{array}\right.$消去y得，（a²k²+b²）x²+2a³k²x+a²（a²k²-b²）=0，
解得x₁=$\frac{a（{b}^{2}-{a}^{2}{k}^{2}）}{{b}^{2}+{a}^{2}{k}^{2}}$，y₁=$\frac{2a{b}^{2}k}{{b}^{2}+{a}^{2}{k}^{2}}$．
将上式中的a换成-a，k换成-$\frac{1}{k}$得x₂=$\frac{a（{a}^{2}-{b}^{2}{k}^{2}）}{{a}^{2}+{b}^{2}{k}^{2}}$，y₂=$\frac{2a{b}^{2}k}{{a}^{2}+{b}^{2}{k}^{2}}$，
∴K_PQ=$\frac{{y}_{2}-{y}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$=$\frac{1}{3}$（k-$\frac{1}{k}$），由于y=$\frac{1}{3}$（k-$\frac{1}{k}$）在∈（0，$\frac{b}{a}$）上单调递增，
∴K_PQ=$\frac{{y}_{2}-{y}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$=$\frac{1}{3}$（k-$\frac{1}{k}$）＜$\frac{1}{3}$（$\frac{b}{a}$-$\frac{a}{b}$）=$\frac{{b}^{2}{-a}^{2}}{ab}$，
故直线PQ斜率的取值范围为（-∞，$\frac{{b}^{2}{-a}^{2}}{ab}$）．

点评 本题考查椭圆方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查斜率的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于难题．