Question

15．已知函数f（x）=$\frac{lnx}{x}$，若方程f（x）=m存在两个不同的实数解，则实数m的取值范围为（　　）

• A． （0，$\frac{1}{e}$）
• B． （0，e）
• C． （-∞，$\frac{1}{e}$）
• D． （0，$\frac{1}{e}$]

Answer 1

分析 对函数f（x）求导数f′（x），利用导数判断函数f（x）的单调性，求出f（x）的定义域和最大值，
即可求出方程f（x）=m存在两个不同的实数解时m的取值范围．

解答 解：∵函数f（x）=$\frac{lnx}{x}$，x＞0；
∴f′（x）=$\frac{\frac{1}{x}•x-lnx•1}{{x}^{2}}$=$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$，
令f′（x）=0，得1-lnx=0，
解得x=e；
当x∈（0，e）时，f′（x）＞0，f（x）是增函数；
当x∈（e，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）是减函数；
当x=e时，f（x）取得最大值是f（e）=$\frac{1}{e}$，且f（x）＞0；

当方程f（x）=m存在两个不同的实数解时，
实数m的取值范围是0＜x＜$\frac{1}{e}$．
故选：A．

点评 本题考查了函数的零点的判断问题，也考查了利用导数判断函数的单调性与最值的应用问题，是综合性题目．