Question

10．设A，B为椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的长轴两端点，Q为椭圆上一点，使∠AQB=120°，则椭圆离心率e的取值范围为（　　）

• A． [$\frac{\sqrt{3}}{2}$，1）
• B． [$\frac{\sqrt{6}}{3}$，1）
• C． （0，$\frac{\sqrt{3}}{2}$]
• D． （0，$\frac{\sqrt{6}}{3}$]

Answer 1

分析 由题意可知：则tan∠AQB=$\frac{{k}_{QA}-{k}_{QB}}{1+{k}_{QA}•{k}_{QB}}$=-$\sqrt{3}$，即$\frac{\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}-a}-\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}+a}}{1-\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}-a}•\frac{{y}_{0}}{x+a}}$=-$\sqrt{3}$，求得$\frac{2a{y}_{0}}{{x}_{0}^{2}-{a}^{2}+{y}_{0}^{2}}$=-$\sqrt{3}$，①，由y₀=a²（1-$\frac{{y}_{0}^{2}}{{b}^{2}}$），代入求得y₀，由0＜y₀≤b，代入即可求得椭圆离心率e的取值范围．

解答 解：由对称性不防设Q在x轴上方，Q坐标为（x₀，y₀），
则tan∠AQB=$\frac{{k}_{QA}-{k}_{QB}}{1+{k}_{QA}•{k}_{QB}}$=-$\sqrt{3}$，即$\frac{\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}-a}-\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}+a}}{1-\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}-a}•\frac{{y}_{0}}{x+a}}$=-$\sqrt{3}$，
整理得：$\frac{2a{y}_{0}}{{x}_{0}^{2}-{a}^{2}+{y}_{0}^{2}}$=-$\sqrt{3}$，①
∵Q在椭圆上，
∴$\frac{{x}_{0}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}_{0}^{2}}{{b}^{2}}=1$，即y₀=a²（1-$\frac{{y}_{0}^{2}}{{b}^{2}}$），代入①得y₀=$\frac{2a{b}^{2}}{\sqrt{3}{c}^{2}}$，
∵0＜y₀≤b，
∴0＜$\frac{2a{b}^{2}}{\sqrt{3}{c}^{2}}$≤b，由b²=a²-c²，
化简整理得：3e⁴+4e²-4≥0，
解得：e²≥$\frac{2}{3}$，或e≤-2（舍去），
由0＜e＜1，
∴$\frac{\sqrt{6}}{3}$≤e＜1，
故选B．

点评 本题考查椭圆的标准方程，考查直线的斜率公式，考查椭圆简单几何性质的应用，考查计算能力，属于中档题．