Question

20．已知函数y=1-2t-2tx+2x²（-1≤x≤1）的最小值为f（t）．
（ I）求f（t）的表达式；
（ II）当t∈[-2，0]时，求函数f（t）的值域．

Answer 1

分析 （ I）根据二次函数的性质，讨论其单调性，求其最小值即可．
（ II）根据f（t）的表达式，当t∈[-2，0]时，利用单调性可得其函数f（t）的值域．

解答 解：（ I）因为函数y=1-2t-2tx+2x²（-1≤x≤1）的对称轴为$x=\frac{t}{2}$，开口向上，
ⅰ）当$\frac{t}{2}＜-1$即t＜-2时；y=1-2t-2tx+2x²在[-1，1]为增函数，
所以：y_min=y|_x=-1=3．
ⅱ）当$-1≤\frac{t}{2}≤1$即-2≤t≤2时；y=1-2t-2tx+2x²，[-1，1]对称轴处取得最小值，
所以：${y_{min}}=y{|_{x=\frac{t}{2}}}=-\frac{t^2}{2}-2t+1$．
ⅲ）当$\frac{t}{2}＞1$即t＞2时，在[-1，1]为减函数，
∴y_min=y|_x=1=-4t+3．
综上所述：$f（t）=\left\{{\begin{array}{l}{3，t＜-2}\\{-\frac{t^2}{2}-2t+1，-2≤t≤2}\\{-4t+3，t＞2}\end{array}}\right.$；
（ II）当t∈[-2，0]时，由$f（t）=\left\{{\begin{array}{l}{3，t＜-2}\\{-\frac{t^2}{2}-2t+1，-2≤t≤2}\\{-4t+3，t＞2}\end{array}}\right.$，
可知：$f（t）=-\frac{t^2}{2}-2t+1$，
由于对称轴为：t=-2．
所以：$f（t）=-\frac{t^2}{2}-2t+1$在[-2，0]上为单调减函数，
故函数f（t）的值域为[1，3]．

点评 本题考察了函数的讨论思想，分段函数的表达式求法，单调性的利用．属于中档题．