Question

10．数列{a_n}的前n项和为S_n=33n-n²．
（1）求{a_n}的通项公式；
（2）问{a_n}的前多少项和最大；
（3）设b_n=|a_n|，求数列{b_n}的前n项和S_n′．

Answer 1

分析 （1）利用递推关系：当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1，当n=1时，a₁=S₁，即可得出．
（2）法一：令a_n≥0，得34-2n≥0，解出n即可得出．
法二：由y=-x²+33x的对称轴为$x=\frac{33}{2}$．利用二次函数的单调性即可得出．
（3）由（2）知，当n≤17时，a_n≥0；当n≥18时，a_n＜0．进而得出．

解答 解：（1）当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=34-2n，
又当n=1时，a₁=S₁=32=34-2×1，满足a_n=34-2n．
故{a_n}的通项公式为a_n=34-2n．
（2）法一：令a_n≥0，得34-2n≥0，所以n≤17，
故数列{a_n}的前17项大于或等于零．
又a₁₇=0，故数列{a_n}的前1项或前17项的和最大．
法二：由y=-x²+33x的对称轴为$x=\frac{33}{2}$．
距离$\frac{33}{2}$最近的整数为16，17．
由${S_n}=-{n^2}+33n$的图象可知：
当n≤17时，a_n≥0，
当n≥18时，a_n＜0，
故数列{a_n}的前16项或前17项的和最大．
（3）由（2）知，当n≤17时，a_n≥0；
当n≥18时，a_n＜0，
所以当n≤17时，$S_n^'={b_1}+{b_2}+…+{b_n}$=|a₁|+|a₂|+…+|a_n|=${a_1}+{a_2}+…+{a_n}={S_n}=33n-{n^2}$．
当n≥18时，$S_n^'=|{a_1}|+|{a_2}|+…+|{a_{17}}|+|{a_{18}}|+…+|{a_n}|$=a₁+a₂+…+a₁₇-（a₁₈+a₁₉+…+a_n）=S₁₇-（S_n-S₁₇）=2S₁₇-S_n=n²-33n+544．
故$S_n^'=\left\{\begin{array}{l}33n-{n^2}，n≤17\\{n^2}-33n+544，n≥18\end{array}\right.$．

点评 本题考查了等差数列的通项公式与求和公式、绝对值数列求和、数列的单调性、二次函数的单调性，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．