Question

5．已知命题p：函数f（x）=$\frac{1}{3}$x³-x²+（5-a²）x+a在R上的增函数；命题q：函数g（x）=$\frac{e^x}{x}$在[a，+∞）上单调递增，若“p∨（￢q）”为真命题，“（￢p）∨q”也为真命题，求a的取值范围．

Answer 1

分析 若“p∨（￢q）”为真命题，“（￢p）∨q”也为真命题，则p为真命题，则q也为真命题；若p为假命题，则q也为假命题，进而可得a的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）若p为真命题，
则f′（x）=x²-2x+5-a²≥0恒成立，
则△=4-4（5-a²）≤0，
解得：-2≤a≤2．
g′（x）=$\frac{{（x-1）{e^x}}}{x^2}$，故g（x）=$\frac{e^x}{x}$在[1，+∞）上递增，
若q为真命题，
则a≥1．
由已知可得若p为真命题，则q也为真命题；
若p为假命题，则q也为假命题，
当p，q同真时，1≤a≤2；
同假时，a＜-2，
故a∈（-∞，-2）∪[1，2]．（12分）

点评 本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了复合命题，函数的单调性，利用导数研究函数的单调性等知识点，难度中档．