Question

13．已知函数f（x）=$\frac{ln（1+x）}{1+x}$．
（Ⅰ）  求f（x）的最小值；
（Ⅱ）若f（x）在区间[m，n]（0≤m＜n）上的值域为[km，kn]，试求k的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出f（x）的导数，根据函数的单调性求出f（x）的最小值即可；
（Ⅱ）问题转化为方程f（x）=kx在[0，+∞）上有2个不相等的实数根，令F（x）=f（x）-kx，求出函数的导数，通过讨论k的范围，从而确定k的范围即可．

解答 解：（Ⅰ）f′（x）=1-$\frac{1-ln（1+x）}{{（1+x）}^{2}}$=$\frac{{（1+x）}^{2}-1+ln（1+x）}{{（1+x）}^{2}}$，
故N（x）=（1+x）²-1+ln（1+x），
故N′（x）=2（1+x）+$\frac{1}{1+x}$＞0，
故N（x）在（-1，+∞）递增，由于N（0）=0，
∴f（x）在（-1，0）递减，在（0，+∞）递增，
∴f（x）_min=f（0）=0；
（Ⅱ）由题意得f（x）在（0，+∞）递增，
故$\left\{\begin{array}{l}{f（m）=km}\\{f（n）=kn}\end{array}\right.$，
即方程f（x）=kx在[0，+∞）上有2个不相等的实数根，
又0是f（x）0的根，故方程有1个正根，
令F（x）=f（x）-kx=（1-k）x-$\frac{ln（1+x）}{1+x}$，
则F′（x）=（1-k）-$\frac{1-ln（1+x）}{1+x}$=$\frac{（1-k{）（1+x）}^{2}-1+ln（1+x）}{{（1+x）}^{2}}$，
令N₁（x）=（1-k）（1+x）²-1+ln（1+x），
当0＜k＜1时，${{N}_{1}}^{′}$（x）=2（1-k）（1+x）+$\frac{1}{1+x}$＞0，
故N₁（x）=0有1个正根，
故N₁（x）＜0，即-k＜0，故0＜k＜1，
当k≥1时，F（x）=（1-k）x-$\frac{ln（1+x）}{1+x}$，
令F（0）=0，得：（1-k）x=$\frac{ln（1+x）}{1+x}$（*），
由于x＞0，故（1-k）x≤0，
而$\frac{ln（1+x）}{1+x}$＞0，故（*）不成立，
综上，k∈（0，1）．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的由于以及分类讨论思想，是一道中档题．