Question

3．△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足bcosA=（2c+a）cos（C+A）•
（I）求角B的大小；
（ II）若b=4，△ABC的面积为$\sqrt{3}$，求a+c的值．

Answer 1

分析 （I）由正弦定理，两角和的正弦函数公式，三角形内角和定理，诱导公式化简已知可得sinC=-2sinCcosB，结合sinC＞0，可求cosB的值，结合B的范围即可得解B的值．
（ II）由三角形面积公式可求ac的值，由余弦定理即可得解a+c的值．

解答 （本小题满分12分）
解：（I）由条件，得bcosA=（2c+a）cos（π-B）=-（2c+a）cosB，…（1分）
由正弦定理，得sinBcosA=-（2sinC+sinA）cosB，…（3分）
即sinAcosB+cosAsinB=-2sinCcosB，
即sin（A+B）=-2sinCcosB．…（4分）
∵sin（A+B）=sin（π-C）=sinC＞0，
∴$cosB=-\frac{1}{2}$…（5分）
∵B∈（0，π），
∴$B=\frac{2π}{3}•$…（6分）
（ II）由（I）知$B=\frac{2π}{3}$，则${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}acsin\frac{2π}{3}=\sqrt{3}$．
得ac=4．…（8分）
由余弦定理，得${b^2}={a^2}+{c^2}-2accos\frac{2π}{3}={a^2}+{c^2}+ac={（a+c）^2}-ac={（a+c）^2}-4$．…（10分）
∵b=4，
∴（a+c）²=20．故$a+c=2\sqrt{5}$．…（12分）

点评 本题主要考查了正弦定理，两角和的正弦函数公式，三角形内角和定理，诱导公式，三角形面积公式，余弦定理在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于中档题．