Question

12．已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=（x+a）e^x+2（其中a∈R，e是自然对数的底数，e=2.71828…）．
（Ⅰ） 求a的值；
（Ⅱ） 若x∈[-1，2]时，方程f（x）=m有实数根，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用函数的奇偶性，通过f（0）=0，即可 求a的值；
（Ⅱ）由（Ⅰ），当x≥0时，f（x）=（x-2）e^x+2．当x＜0时，f（x）=（x+2）e^-x-2．如果利用函数的导数，判断函数的单调性，极值，通过方程f（x）=m有实数根，实数m的取值范围．

解答 解：（Ⅰ） 因为f（x）是定义在R上的奇函数，
由f（0）=0得f（0）=（0+a）e⁰+2=0
即a=-2．（4分）
（Ⅱ） 由（Ⅰ），当x≥0时，f（x）=（x-2）e^x+2．
当x＜0时，-x＞0，f（-x）=（-x-2）e^-x+2．
由于f（x）是奇函数，则f（x）=-f（-x）=-[（-x-2）e^-x+2]，
故当x＜0时，f（x）=（x+2）e^-x-2．（6分）
当-1≤x＜0时，f（x）=（x+2）e^-x-2，f'（x）=-（x+1）e^-x，
由-1≤x＜0，知f'（x）≤0，则当-1≤x＜0时，f（x）单调递减，
此时f（0）＜f（x）≤f（-1），即f（x）∈（0，e-2]．（8分）
当0≤x≤2时，f（x）=（x-2）e^x+2，f'（x）=（x-1）e^x，由f'（x）=0，得x=1，
当0＜x＜1时，f'（x）＜0，当1＜x＜2时，f'（x）＞0，则f（x）在（0，1）上单调递减；在（1，2）上单调递增．则f（x）在x=1处取得极小值f（1）=2-e，又f（0）=0，f（2）=2，
故当0≤x≤2时，f（x）∈[2-e，2]．
综上，当x∈[-1，2]时，f（x）∈[2-e，2]，
所以实数m的取值范围是[2-e，2]．（12分）

点评 本题考查函数的零点的求法，函数的单调性以及函数的极值的求法，考查转化思想以及计算能力．