Question

17．已知a，b为正实数，向量$\overrightarrow{m}$=（a，4），向量$\overrightarrow{n}$=（b，b-1），若$\overrightarrow{m}$∥$\overrightarrow{n}$，则a+b最小值为9．

Answer 1

分析 由$\overrightarrow{m}$∥$\overrightarrow{n}$，可得4b-a（b-1）=0，（b≠1），而a=$\frac{4b}{b-1}$＞0，解得b＞1．变形再利用基本不等式的性质即可得出a+b的最小值．

解答 解：∵$\overrightarrow{m}$∥$\overrightarrow{n}$，∴4b-a（b-1）=0，（b≠1）
∴a=$\frac{4b}{b-1}$＞0，解得b＞1．
∴a+b=$\frac{4b}{b-1}$+b=5+$\frac{4}{b-1}$+b-1．
b＞1时，a+b≥5+2$\sqrt{\frac{4}{b-1}×（b-1）}$=9，当且仅当b=3时，取等号，
∴a+b最小值为9．
故答案为：9．

点评 本题考查了向量共线定理、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．