Question

7．设函数f（x）=x²+bln（x+1），其中b≠0．
（Ⅰ）当b＞$\frac{1}{2}$时，判断函数f（x）在定义域上的单调性；
（Ⅱ）当b≤$\frac{1}{2}$时，求函数f（x）的极值点．

Answer 1

分析 （I）首先判断函数的定义域，并求出f（x）导数，利用导函数判断函数的单调性即可；
（II）分类讨论当b=$\frac{1}{2}$时，f'（x）＞0恒成立，函数f（x）在（-1，+∞）上无极值点；当b＜$\frac{1}{2}$时，根据导函数零点判断原函数是否存在极值点；

解答 解：（Ⅰ）函数f（x）=x²+bln（x+1）的定义域在（-1，+∞），f'（x）=2x+$\frac{b}{x+1}$=$\frac{2{x}^{2}+2x+b}{x+1}$；
令g（x）=2x²+2x+b，则g（x）在（-$\frac{1}{2}$，+∞）上递增，在（-1，-$\frac{1}{2}$）上递减，
g（x）_min=g（-$\frac{1}{2}$）=-$\frac{1}{2}$+b，当b＞$\frac{1}{2}$时，g（x）_min＞0；
g（x）=2x²+2x+b＞0在（-1，+∞）上恒成立，
所以f'（x）＞0即当b＞$\frac{1}{2}$，函数f（x）在定义域（-1，+∞）上单调递增．        
（Ⅱ）（1）当b=$\frac{1}{2}$时，f'（x）=$\frac{2（x+\frac{1}{2}）^{2}}{x+1}$，
∴x∈（-1，-$\frac{1}{2}$）时，f'（x）＞0；x∈（-$\frac{1}{2}$，+∞）时，f'（x）＞0，
∴b=$\frac{1}{2}$时，函数f（x）在（-1，+∞）上无极值点；                            
（2）当b＜$\frac{1}{2}$时，解f'（x）=0得两个不同解${x_1}=\frac{{-1-\sqrt{1-2b}}}{2}，{x_2}=\frac{{-1+\sqrt{1-2b}}}{2}$；
当b＜0时，${x_1}=\frac{{-1-\sqrt{1-2b}}}{2}，{x_2}=\frac{{-1+\sqrt{1-2b}}}{2}$，
∴x₁∈（-∞，-1），x₂∈（-1，+∞），
f（x）在（-1，+∞）上有唯一的极小值点${x_2}=\frac{{-1+\sqrt{1-2b}}}{2}$；
当0＜b＜$\frac{1}{2}$时，x₁，x₂∈（-1，+∞）f'（x）在（-1，x₁），（x₂，+∞）都大于0，
f'（x）在（x₁，x₂）上小于0，f（x）有一个极大值点${x_1}=\frac{{-1-\sqrt{1-2b}}}{2}$和一个极小值点${x_2}=\frac{{-1+\sqrt{1-2b}}}{2}$；
综上可知，b＜0，时，f（x）在（-1，+∞）上有唯一的极小值点${x_2}=\frac{{-1+\sqrt{1-2b}}}{2}$；
0＜b＜$\frac{1}{2}$时，f（x）有一个极大值点${x_1}=\frac{{-1-\sqrt{1-2b}}}{2}$和一个极小值点${x_2}=\frac{{-1+\sqrt{1-2b}}}{2}$；
$b=\frac{1}{2}$时，函数f（x）在（-1，+∞）上无极值点．

点评 本题主要考查了利用导函数判断原函数的单调性，以及函数极值点等综合性知识点，属中等偏上题．