Question

16．已知函数f（x）=x²-2tx-4t-4，g（x）=$\frac{1}{x}$-（t+2）²，两个函数图象的公切线恰为3条，则实数t的取值范围为（$\frac{3\root{3}{2}}{2}$，+∞）．

Answer 1

分析 设切点为（x₁，f（x₁）），（x₂，g（x₂）），分别求出f（x），g（x）导数，可得切线的方程，由同一直线可得即可化为$\frac{2}{{x}_{2}}$-$\frac{t}{{{x}_{2}}^{2}}$+$\frac{1}{4{{x}_{2}}^{4}}$=0，即8x₂³-4tx₂²+1=0有3个非零实根，令h（x）=8x³-4tx²+1，有3个非零零点，h（0）=1，求出h（x）导数，对t讨论，分t=0，t＞0，t＜0，求出单调区间和极值，即可得到所求范围．

解答 解：设切点为（x₁，f（x₁）），（x₂，g（x₂）），
则f′（x₁）=2x₁-2t，g′（x₂）=-$\frac{1}{{{x}_{2}}^{2}}$，
切线方程为y-f（x₁）=f′（x₁）（x-x₁），
即y=（2x₁-2t）x-x₁²-4t-4；
y-g（x₂）=g′（x₂）（x-x₂），
即y=-$\frac{1}{{{x}_{2}}^{2}}$x+$\frac{2}{{x}_{2}}$-t²-4t-4．
即2x₁-2t=-$\frac{1}{{{x}_{2}}^{2}}$，且-x₁²-4t-4=$\frac{2}{{x}_{2}}$-t²-4t-4．
即有x₁=t-$\frac{1}{2{x}_{{2}^{2}}}$，x₁²=t²-$\frac{2}{{x}_{2}}$，
即可化为$\frac{2}{{x}_{2}}$-$\frac{t}{{{x}_{2}}^{2}}$+$\frac{1}{4{{x}_{2}}^{4}}$=0，
即8x₂³-4tx₂²+1=0有3个非零实根，
令h（x）=8x³-4tx²+1，有3个非零零点，h（0）=1，
h′（x）=24x²-8tx=24x（x-$\frac{t}{3}$），
当t=0时，h′（x）=24x²＞0，h（x）递增，不符合条件；
当t＞0，当x＜0或x＞$\frac{t}{3}$时，h′（x）＞0，h（x）递增，
0＜x＜$\frac{t}{3}$时，h′（x）＜0，h（x）递减，
h（x）极大值为为h（0）=1＞0，h（x）极小值为h（$\frac{t}{3}$）=1-$\frac{4}{27}$t³，
由1-$\frac{4}{27}$t³＜0，解得t＞$\frac{3\root{3}{2}}{2}$，
若t＜0，则当x＞0或x＜$\frac{t}{3}$时，h′（x）＞0，h（x）递增，
$\frac{t}{3}$＜x＜0时，h′（x）＜0，h（x）递减，
h（x）极大值为为h（0）=1＞0，h（x）极小值为h（$\frac{t}{3}$）=1-$\frac{4}{27}$t³＞0，不符要求．
故t＞$\frac{3\root{3}{2}}{2}$，
故答案为：（$\frac{3\root{3}{2}}{2}$，+∞）．

点评 本题考查导数的运用：求切线的方程和单调区间、极值，考查分类讨论、转化思想和运算求解能力，属于难题．