Question

4．已知圆C₁：ρ=-2cosθ，曲线C₂：$\left\{{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}}$（θ为参数）．
（1）化圆C₁和曲线C₂的方程为普通方程；
（2）过圆C₁的圆心C₁且倾斜角为$\frac{π}{3}$的直线l交曲线C₂于A，B两点，求圆心C₁到A，B两点的距离之积．

Answer 1

分析 （1）圆C₁：ρ=-2cosθ，即ρ²=-2ρcosθ，利用互化公式可得圆C₁的普通方程．由曲线C₂：$\left\{{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}}$（θ为参数），利用平方关系可得：曲线C₂的普通方程．
（2）由（1）可知：C₁（-1，0）则直线l的参数方程为：$\left\{{\begin{array}{l}{x=-1+\frac{1}{2}t}\\{y=\frac{{\sqrt{3}}}{2}t}\end{array}（t}\right.$为参数），将其代入$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$，有$\frac{13}{4}{t^2}-t-3=0$，圆心C₁到A，B两点的距离之积为|t₁t₂|．

解答 解：（1）圆C₁：ρ=-2cosθ，即ρ²=-2ρcosθ，可得x²+y²=2x圆C₁的普通方程为：（x+1）²+y²=1．
由曲线C₂：$\left\{{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}}$（θ为参数），利用平方关系可得：曲线C₂的普通方程为：$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$．
（2）由（1）可知：C₁（-1，0）则直线l的参数方程为：$\left\{{\begin{array}{l}{x=-1+\frac{1}{2}t}\\{y=\frac{{\sqrt{3}}}{2}t}\end{array}（t}\right.$为参数），
将其代入$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$，有$\frac{13}{4}{t^2}-t-3=0$，${t_1}{t_2}=-\frac{12}{13}$．
所以圆心C₁到A，B两点的距离之积为$|{{t_1}{t_2}}|=\frac{12}{13}$．

点评 本题考查了极坐标化为直角坐标方程、参数方程化为普通方程、直线参数方程 的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．