Question

9．已知数列{a_n}满足a_n+1=$\left\{\begin{array}{l}{2{a}_{n}（0≤{a}_{n}＜\frac{1}{2}）}\\{2{a}_{n}-1（\frac{1}{2}≤{a}_{n}＜1）}\end{array}\right.$，若a₁=$\frac{6}{7}$，则a₂₀₁₄的值为（　　）

• A． $\frac{5}{7}$
• B． $\frac{6}{7}$
• C． $\frac{3}{7}$
• D． $\frac{1}{7}$

Answer 1

分析 由a₁=$\frac{6}{7}$，根据解析式求得a2，a3，…，数列{a_n}是以3为周期的周期数列，2014=3×671+1，即可求得a₂₀₁₄的值．

解答 解：由$\frac{1}{2}$＜a₁=$\frac{6}{7}$＜1，a₂=2a₁-1=$\frac{5}{7}$，
$\frac{1}{2}$＜a₂=$\frac{5}{7}$＜1，a₃=2a₂-1=$\frac{3}{7}$，
0＜a₃=$\frac{3}{7}$＜$\frac{1}{2}$，a₃=2a₃=$\frac{6}{7}$，
…
∴数列{a_n}是以3为周期的周期数列，
2014=3×671+1，
a₂₀₁₄=a₁=$\frac{6}{7}$，
故选B．

点评 本题考查分段函数的应用，考查数列的周期性，考查数列与函数的应用，考查计算能力，属于中档题．