Question

14．已知曲线C：$\frac{x^2}{4}$+$\frac{y^2}{3}$=1，直线l：$\left\{\begin{array}{l}x=1+\frac{1}{2}t\\ y=2+\frac{{\sqrt{3}}}{2}t\end{array}$（t为参数）．
（1）写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程；
（2）设M（1，2），直线l与曲线C交点为A、B，试求|MA|•|MB|的值．

Answer 1

分析 （1）化简椭圆的方程为参数方程，化简直线的参数方程与普通方程即可．
（2）联立直线与椭圆的方程，利用韦达定理，结合参数的几何意义求解即可．

解答 解：（1）C参数方程$\left\{\begin{array}{l}x=2cosθ\\ y=3sinθ\end{array}\right.$（θ为参数）.$l：\left\{\begin{array}{l}x=1+\frac{1}{2}t⇒t=2（x-1）\\ y=2+\frac{{\sqrt{3}}}{2}t⇒y-2=\sqrt{3}（x-1）\end{array}\right.$，
∴直线l的方程为$\sqrt{3}x-y+2-\sqrt{3}=0$．
（2）曲线C：$\frac{x^2}{4}$+$\frac{y^2}{3}$=1，直线l：$\left\{\begin{array}{l}x=1+\frac{1}{2}t\\ y=2+\frac{{\sqrt{3}}}{2}t\end{array}$，
可得：$3{（1+\frac{1}{2}t）^2}+4{（2+\frac{{\sqrt{3}}}{2}t）^2}=12$，$3（1+t+\frac{1}{4}{t^2}）+4（4+2\sqrt{3}t+\frac{3}{4}{t^2}）=12$，
$\frac{15}{4}{t^2}+（3+8\sqrt{3}）t+7=0$，
∴${t_1}+{t_2}=-\frac{{4（3+8\sqrt{3}）}}{15}$，${t_1}{t_2}=\frac{28}{15}$，
$|MA|•|MB|=|{t_1}{t_2}|=\frac{28}{15}$．

点评 本题考查直线与椭圆的位置关系的综合应用，参数方程的应用，直线参数方程的几何意义，考查计算能力．