Question

2．已知若函数f（x）=x²+2（a-1）x+2
（1）当a=2时，试证明f（x）在（0，+∞）上是增函数；
（2）若f（f（2））=14，试求a的值；
（3）若函数f（x）在区间（-∞，4）上是减函数，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用函数的单调性定义证明即可．
（2）利用函数的零点与方程根的关系，通过求解方程根求解即可．
（3）利用二次函数的对称轴以及开口方向，列出不等式求解即可．

解答 （1）证明：当a=2时，f（x）=x²+2x+2，
设x₁＞x₂是定义域（0，+∞）上的任意两个实数，且x₁＞x₂，
则f（x₁）-f（x₂）=${x_1}^2+2{x_1}+2-（{{x_2}^2+2{x_2}+2}）$=${x_1}^2-{x_2}^2+2{x_1}-2{x_2}$=（x₁+x₂）（x₁-x₂）+2（x₁-x₂）=（x₁-x₂）（x₁+x₂+2）
由于x₁，x₂∈（0，+∞），得x₁+x₂+2＞0，
由x₁＞x₂，得x₁-x₂＞0，于是f（x₁）-f（x₂）＞0．
所以f（x）在（0，+∞）是增函数．
（2）∵f（2）=4a+2∴f（f（2））=（4a+2）²+2（a-1）（4a+2）+2=24a²+12a+2
又f（f（2））=14，
因此，24a²+12a+2=14，
∴$a=\frac{1}{2}或a=-1$．
（3）∵f（x）=x²+2（a-1）x+2，
∴其图象的对称轴为$x=\frac{{-2（{a-1}）}}{2×1}=1-a$，
若要二次函数在（-∞，4]上是减函数，必需满足1-a≥4，
因此，a≤-3．

点评 本题考查函数的单调性以及二次函数的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力．