Question

5．已知焦点在x轴的椭圆的离心率与双曲线3x²-y²=3的离心率互为倒数，且过点（1，$\frac{3}{2}$）．
（1）求椭圆方程；
（2）若直线l：y=kx+m（k≠0）与椭圆交于不同的两点M，N，点P（$\frac{1}{5}$，0），有|MP|=|NP|，求k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由双曲线的标准方程，求得离心率e，代入即可求得椭圆的离心率为e=$\frac{c}{a}$=2．设椭圆方程，将椭圆的标准方程，即可求得c的，即可求得椭圆方程；
（2）将直线方程代入椭圆方程，由韦达定理及中点坐标公式，即可求得MN中点P的坐标为（-$\frac{4km}{3+4{k}^{2}}$，$\frac{3m}{3+4{k}^{2}}$），求得其垂直平分线方程，P在l′上，
代入求得m的值，代入即可求得k的取值范围．

解答 解：（1）双曲线3x²-y²=3的标准方程：${x}^{2}-\frac{{y}^{2}}{3}=1$，a=1，b=$\sqrt{3}$，c=2，
椭圆的离心率为e=$\frac{c}{a}$=$\frac{2}{1}$=2．
由题意可得，椭圆的离心率e=$\frac{1}{2}$，
设椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$（a＞b＞0），
由e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，则a=2c，
∴b²=a²-c²=3c²，
∴椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{4{c}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{3{c}^{2}}=1$．
又点（1，$\frac{3}{2}$）在椭圆上，
∴$\frac{1}{4{c}^{2}}+\frac{（\frac{3}{2}）^{2}}{3{c}^{2}}=1$，解得：c²=1，
∴椭圆的方程为：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$；
（2）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
∴$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，消去y并整理得：（3+4k²）x²+8kmx+4m²-12=0，
∵直线y=kx+m与椭圆有两个交点，
△=（8km）2-4（3+4k²）（4m²-12）＞0，即m²＜4k²+3，
由x₁+x₂=-$\frac{8km}{3+4{k}^{2}}$，y₁+y₂=k（x₁+x₂）+2m=$\frac{6m}{3+4{k}^{2}}$，
∴MN中点P的坐标为（-$\frac{4km}{3+4{k}^{2}}$，$\frac{3m}{3+4{k}^{2}}$），
即为|MP|=|NP|，
∴P在MN的垂直平分线上，
设MN的垂直平分线l′方程：y=-$\frac{1}{k}$（x-$\frac{1}{5}$），
∵P在l′上，
∴$\frac{3m}{3+4{k}^{2}}$=-$\frac{1}{k}$（-$\frac{4km}{3+4{k}^{2}}$-$\frac{1}{5}$），得4k²+5km+3=0，解得：m=-$\frac{4{k}^{2}+3}{5k}$，
将上式代入①式得$\frac{（4{k}^{2}+3）^{2}}{25{k}^{2}}$＜4k²+3，即k²＞$\frac{1}{7}$，
解得：k＞$\frac{\sqrt{7}}{7}$或k＜-$\frac{\sqrt{7}}{7}$，
∴k的取值范围为（-∞，-$\frac{\sqrt{7}}{7}$）∪（$\frac{\sqrt{7}}{7}$+∞）．

点评 本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，考查直线与椭圆的位置关系，韦达定理，中点坐标公式，考查计算能力，属于中档题．