Question

15．已知直线l过定点A（2，-1），圆C：x²+y²-8x-6y+21=0．
（1）若l与圆C相切，求l的方程；
（2）若l与圆C交于M，N两点，求△CMN面积的最大值，并求此时l的直线方程．

Answer 1

分析 （1）分类讨论，利用圆心C（4，3）到已知直线l的距离等于半径2，即可求l的方程；
（2）若l与圆C交于M，N两点，求△CMN面积，利用配方法求出最大值，即可求此时l的直线方程．

解答 解：（1）将圆的一般方程化为标准方程，得（x-4）²+（y-3）²=4，∴圆心C（4，3），半径r=2．
①若直线l的斜率不存在，则直线 x=2，符合题意．
②若直线l的斜率存在，设直线l：y+1=k（x-2），即kx-y-2k-1=0．
∵l与圆C相切，∴圆心C（4，3）到已知直线l的距离等于半径2，即$\frac{{|{2k-4}|}}{{\sqrt{{k^2}+1}}}=2$，解得$k=\frac{3}{4}$．
综上，所求直线方程为x=2或3x-4y-10=0．
（2）直线与圆相交，斜率必定存在，设直线方程为kx-y-2k-1=0，则圆心到直线l的距离$d=\frac{{|{2k-4}|}}{{\sqrt{{k^2}+1}}}$，
又∵△CMN面积$S=\frac{1}{2}•d•2\sqrt{4-{d^2}}=\sqrt{4{d^2}-{d^4}}=\sqrt{-{{（{{d^2}-2}）}^2}+4}$，
∴当$d=\sqrt{2}$时，S_max=2，
由$d=\frac{{|{2k-4}|}}{{\sqrt{{k^2}+1}}}=\sqrt{2}$，解得k=1或k=7，
∴直线方程为x-y-3=0或7x-y-15=0．

点评 本题考查直线与圆的位置关系，考查点到直线的距离公式，体现分类讨论的数学思想，属于中档题．