Question

3．已知a²+4b²=1，则2a²+4ab的最大值为$\sqrt{2}+1$．

Answer 1

分析 利用换元法转化为三角函数，利用三角函数的有界性求解．

解答 解：∵a²+4b²=1，
设a=cosθ，b=$\frac{1}{2}$sinθ，θ∈（0，π）
则2a²+4ab=2cos²θ+4cosθ×$\frac{1}{2}$sinθ=1+cos2θ+sin2θ=1+$\sqrt{2}$sin（2θ+$\frac{π}{4}$），
∵sin（2θ+$\frac{π}{4}$）的最大值为1，
∴2a²+4ab=1+$\sqrt{2}$sin（2θ+$\frac{π}{4}$）的最大值为：1+$\sqrt{2}$．
故答案为：1+$\sqrt{2}$

点评 本题考查了基本不等式的性质，考查了灵活解决问题的能力，属于中档题．