Question

13．给出下列四种说法：
①函数y=a^x（a＞0，且a≠1）与函数y=log₁a^x（a＞0，且a≠1）的定义域相同；
②函数y=x³与y=3^x的值域相同；
③函数y=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{2}^{x}-1}$与y=$\frac{（1+{2}^{x}）^{2}}{x•{2}^{x}}$均是奇函数；
④函数y=（x-1）²与y=2x-1在（0，+∞）上都是增函数．
其中正确说法的序号是①③．

Answer 1

分析 ①，∵a^x＞0（a＞0，且a≠1）∴函数y=log₁a^x（a＞0，且a≠1）的定义域为R；
②，函数y=x³的值域为R，y=3^x的值域为（0，+∞）；
③，∵函数y=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{2}^{x}-1}$与y=$\frac{（1+{2}^{x}）^{2}}{x•{2}^{x}}$的定义域均关于原点对称，且$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{2}^{x}-1}$$\frac{1}{2}+\frac{1}{{2}^{-x}-1}=0$，$\frac{（1+{2}^{-x}）^{2}}{-x•{2}^{-x}}$+$\frac{（1+{2}^{x}）^{2}}{x•{2}^{x}}$=0；
④，函数y=（x-1）² （1，+∞）上都是增函数．

解答 解：对于①，∵a^x＞0（a＞0，且a≠1）∴函数y=a^x（a＞0，且a≠1）与函数y=log₁a^x（a＞0，且a≠1）的定义域相同，故正确；
对于②，函数y=x³的值域为R，y=3^x的值域为（0，+∞），故错；
 对于③，∵函数y=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{2}^{x}-1}$与y=$\frac{（1+{2}^{x}）^{2}}{x•{2}^{x}}$的定义域均关于原点对称，且$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{2}^{x}-1}$$\frac{1}{2}+\frac{1}{{2}^{-x}-1}=0$，$\frac{（1+{2}^{-x}）^{2}}{-x•{2}^{-x}}$+$\frac{（1+{2}^{x}）^{2}}{x•{2}^{x}}$=0，故均是奇函数，故正确；
对于④，函数y=（x-1）² （1，+∞）上都是增函数，故错．
故答案：①③．

点评 本题考查了命题真假的判定，涉及到了函数的概念及性质，属于基础题．