Question

3．如图，已知四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，点M，N，Q分别是PA，BD，PD的中点上，
（1）求证：MN∥PC；
（2）求证：平面MNQ∥平面PBC．

Answer 1

分析 （1）利用底面ABCD为平行四边形，点M，N，Q分别是PA，BD，PD的中点上，连接AC，可得MN是三角形ACP的中位线，可得MN∥PC．
（2）面面平行转化为线线平行，证明一个平面内的两天直线分别平行另一个平面，并且这两条直线要相交，求利用三角形ADP的中位线MQ∥PB，MN∥PC，可得平面MNQ∥平面PBC．

解答 解：（1）由题意：P-ABCD是四棱锥，底面ABCD为平行四边形，点M，N，Q分别是PA，BD，PD的中点上，连接AC，∴N是AC的中点．
∴MN是三角形ACP的中位线，
∴MN∥PC．
（2）由（1）可得MN∥PC．
∵M，Q分别在PA，PD的中点上，
∴MQ是三角形ADP的中位线，
∴MQ∥PB．
由MQ∥PB，MN∥PC，PB?平面PBC，PC?平面PBC，PB∩PC=P，
同理MQ?平面MNQ，MN?平面MNQ，MQ∩MN=M．
∴平面MNQ∥平面PBC．

点评 本题考察了线线平行和面面平行的证明，利用了三角形的中位线这性质．比较基础题．