Question

3．已知偶函数y=f（x）对于任意的x∈[0，$\frac{π}{2}$）满足f′（x）cosx+f（x）sinx＞0，（其中f′（x）是函数f（x）的导函数），则下列不等式中成立的是（　　）

• A． $\sqrt{2}$f（-$\frac{π}{3}$）＜f（$\frac{π}{4}$）
• B． $\sqrt{2}$f（-$\frac{π}{3}$）＜f（-$\frac{π}{4}$）
• C． f（0）$＞\sqrt{2}$f（-$\frac{π}{4}$）
• D． f（$\frac{π}{4}$）$＜\sqrt{3}$f（$\frac{π}{3}$）

Answer 1

分析 构造函数，利用函数的导数，判断函数的单调性，然后推出结果．

解答 解：偶函数y=f（x）对于任意的x∈[0，$\frac{π}{2}$）满足f′（x）cosx+f（x）sinx＞0，
构造函数F（x）=$\frac{f（x）}{cosx}$，
可得F′（x）=$\frac{f′（x）cosx+f（x）sinx}{co{s}^{2}x}$＞0，
可知F（x）是增函数，F（$\frac{π}{4}$）＜F（$\frac{π}{3}$）．
可得：$\frac{f（\frac{π}{4}）}{\frac{\sqrt{2}}{2}}＜\frac{f（\frac{π}{3}）}{\frac{1}{2}}$，
可得：f（$\frac{π}{4}$）$＜\sqrt{2}$f（$\frac{π}{3}$）$＜\sqrt{3}$f（$\frac{π}{3}$）．
故选：D．

点评 本题考查函数的导数的应用，考查构造法的应用，考查转化思想以及计算能力．